Физтех 2021, 11 класс, задача 3
( баллов) Пусть - фигура на декартовой плоскости, состоящая из всех точек таких, что существует пара вещественных чисел , , при которых выполняется система неравенств
Найдите площадь фигуры .
Ответ. .
Решение. Второе неравенство равносильно системе неравенств
Значит, исходная система равносильна следующей:
Множества точек, задаваемых этими неравенствами на плоскости ( и при этом выступают в роли параметров), - это круги , , радиуса с центрами , , соответственно. Условие задачи означает, что система должна иметь решение относительно , то есть все три круга должны иметь по крайней мере одну общую точку.
Пусть окружности, ограничивающие и , пересекаются в точках и (тогда треугольники и - равносторонние). Пересечение кругов и есть фигура , представляющая собой совокупность двух меньших сегментов этих кругов, ограниченных хордой . Тогда фигура состоит из всевозможных точек , находящихся на расстоянии не более от фигуры . (Это совокупность всех кругов радиуса , центры которых принадлежат фигуре .)
Пусть точки и симметричны точкам и (соответственно) относительно точки ; точки и симметричны точкам и (соответственно) относительно точки . Нетрудно понять, что есть объединение четырёх секторов (центральный угол всех секторов меньше ):
- сектор круга с центром в точке и радиуса ,
- сектор круга с центром в точке и радиуса ,
- сектор круга с центром в точке и радиуса ,
- сектор круга с центром в точке и радиуса .
Заметим, что первые два сектора пересекаются по ромбу , и никаких других пересечений между секторами нет. При этом первые два сектора равны между собой, и последние два сектора также равны между собой. Таким образом, площадь фигуры равна