Физтех 2022, 11 класс, задача 2

Сложная
Выражения и преобразования
Источник:
Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2022, 11 класс

( баллов) Решите систему уравнений

Ответ. , .

Решение. Первое уравнение при условии равносильно уравнению

откуда

Решая это уравнение как квадратное относительно переменной , имеем

поэтому или . Подставляем во второе уравнение исходной системы.

Если , то , и получаем две пары: , и , .

Если , то , откуда также имеем две пары:

и

Из четырёх найденных пар чисел неравенству удовлетворяют только две из них:

Похожие задачи

Физтех 2023, 9 класс, задача 6

(5 баллов) Из пункта A в пункт B выезжают одновременно велосипедист и мотоциклист. Оба они движутся с постоянной скоростью, и мотоциклист прибывает в пункт B на 2 часа раньше велосипедиста. Если бы велосипедист ехал со своей скоростью в течение того времени, что понадобилось мотоциклисту на дорогу о
Сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2024, 9 класс, задача 7

(5 баллов) Найдите все пары целых чисел (x;y), удовлетворяющие уравнению √(2x+2y-x2-y2)+√(1-|x+y-2|)=1.
Сложная
Теория чисел
Выражения и преобразования

Физтех 2023, 9 класс, задача 5

(4 баллов) Ненулевые действительные числа x, y, z удовлетворяют равенствам 3x+2y=z и dfrac3x+dfrac1y=dfrac2z. Найдите наибольшее возможное значение выражения dfrac{3x2-4y2-z2}{x2-6y2}.
Сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2022, 11 класс, задача 3

(5 баллов) Решите неравенство 5log12(x2+18x)+x2ge |x2+18x|log1213-18x.
Сложная
Выражения и преобразования