Физтех 2022, 10 класс, задача 4

Сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2022, 10 класс

( баллов) а) В прямоугольном треугольнике на катете и гипотенузе отмечены точки и соответственно, такие что и . Найдите тангенс угла , если известно, что .

б) Пусть дополнительно известно, что . Найдите площадь треугольника .

Ответ. , .

Решение. Обозначим . Тогда

Пусть . Отсюда , , . По теореме синусов для треугольника имеем

Следовательно,

откуда и .

Площадь треугольника равна

Так как , то , и

Похожие задачи

Физтех 2022, 9 класс, задача 4

(5 баллов) Окружность с центром O касается прямых AB и BC в точках A и C соответственно. Высота CH треугольника ABC пересекает эту окружность в точках C и D. Найдите отношение AB:CH, если площадь треугольника ABD равна 6, а радиус окружности равен 4.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, 9 класс, задача 5

(5 баллов) Продолжение сторон BC (за точку C) и AD (за точку D) вписанного в окружность четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E. Центр O окружности, вписанной в треугольник ABE, лежит на отрезке CD. Найдите наименьшее возможное значение суммы ED+DO, если известно, что BE=10.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2021, 10 класс, задача 5

(5 баллов) На плоскости с заданной прямоугольной декартовой системой координат нарисован квадрат с вершинами в точках (0;0), (0;59), (59;59) и (59;0). Найдите количество способов выбрать два узла сетки внутри этого квадрата (не включая его границу) так, чтобы хотя бы один из этих узлов лежал на одно

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика

Физтех 2020, 9 класс, задача 6

(5 баллов) Две окружности одинакового радиуса 9 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй - точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а angle CAD=90^circ. На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что BF=BD (точки

Сложная

Планиметрия