Физтех 2022, 11 класс, задача 7
( баллов) Дана пирамида , вершина которой лежит на одной сфере с серединами всех её рёбер, кроме ребра . Известно, что , , . Найдите длину ребра . Какой наименьший радиус может иметь сфера, описанная около данной пирамиды?
Ответ. , .
Решение. Пусть , , , , - середины рёбер , , , , соответственно. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что и - параллелограммы. Они вписаны в окружности, являющиеся сечениями сферы плоскостями и , поэтому эти параллелограммы - прямоугольники. Угол - прямой; прямые и перпендикулярны, так как , , .
Отметим в плоскости точку такую, что , а точки и лежат по разные стороны от прямой (треугольник может быть получен из треугольника поворотом вокруг прямой ). Из равенства треугольников и следует, что основания их высот, опущенных на , - это одна и та же точка (назовём её ). Плоскость перпендикулярна (так как , ), поэтому . Поскольку и , то плоскость перпендикулярна и .
Значит, - четырёхугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями (пусть - точка их пересечения). По теореме Пифагора
следовательно,
откуда
Из прямоугольного треугольника находим
Радиус сферы, описанной около пирамиды , не меньше радиуса окружности, описанной около грани . Пирамида, для которой достигается равенство, существует. Докажем это. Рассмотрим сферу радиуса и окружность - её сечение, проходящее через центр сферы. Впишем в эту окружность треугольник и через прямую проведём плоскость, перпендикулярную плоскости этого треугольника. В сечении сферы указанной плоскостью получится окружность с диаметром , в которую можно вписать прямоугольный треугольник . По теореме косинусов из треугольника находим, что
то есть . По теореме синусов