Физтех 2023, 10 класс, задача 1
( баллов) Натуральные числа , , таковы, что делится на , делится на , делится на . Найдите наименьшее возможное значение произведения .
Ответ. .
Решение. Чтобы произведение было минимальным, числа , , не должны иметь простых делителей, отличных от и . Пусть , , (показатели всех степеней - целые неотрицательные числа). Тогда . Рассмотрим отдельно делимость на и .
) Из того, что делится на , следует, что . Аналогично, и . Сложив эти три неравенства и разделив пополам, получаем
Значит, . Покажем, что значение достигается. Для этого возьмём , , (эти значения могут быть получены как решения системы уравнений , , ).
) Из того, что делится на следует, что . Заметим, что . может равняться , если, например, , , .
Так как минимум каждой из сумм , не зависит от другого, то и минимальное значение равно