Физтех 2025, 11 класс, задача 1

Очень сложная
Теория чисел
Источник:
Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2025, 11 класс

( баллов) Найдите все тройки натуральных чисел( такие, что:
• — четырёхзначное число, составленное из одинаковых цифр,
• — трёхзначное число, хотя бы одна из цифр которого равна
• — двузначное число, хотя бы одна из цифр которого равна
• произведение является квадратом некоторого натурального числа.

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ.

Решение. Заметим, что число представляется в виде В произведении
множители и встречаются четное число раз. Таким образом, трехзначное число должно быть
кратно а двузначное число кратно В силу условий Следовательно,
Отсюда

Похожие задачи

Физтех 2023, 11 класс, задача 1

(4 баллов) Натуральные числа a, b, c таковы, что ab делится на 29 310510, bc делится на 214313513, ac делится на 219318530. Найдите наименьшее возможное значение произведения abc.
Очень сложная
Теория чисел

Физтех 2024, 10 класс, задача 3

(5 баллов) Найдите все пары (m,n) натуральных чисел, для которых одно из чисел A=m2+2mn+n2-9m-9n и B=m2n+mn2-3mn равно 13p2, а другое равно 75q2, где p и q - простые числа.
Очень сложная
Теория чисел

Физтех 2025, 10 класс, задача 2

(2 баллов) Десятичная запись натурального числа n состоит из 40,000 девяток. Сколько девяток содержит десятичная запись числа n3?
Очень сложная
Теория чисел

Физтех 2023, 10 класс, задача 1

(4 баллов) Натуральные числа a, b, c таковы, что ab делится на 214710, bc делится на 217717, ac делится на 220737. Найдите наименьшее возможное значение произведения abc.
Очень сложная
Теория чисел