Физтех 2024, 10 класс, задача 3
( баллов) Найдите все пары натуральных чисел, для которых одно из чисел и равно , а другое равно , где и - простые числа.
Ответ. , .
Решение. Число представимо в виде . Так как множители имеют разную чётность, - чётное число. Рассмотрим два случая.
Если , то так как чётное, также должно быть чётным. Кроме того, - простое число, следовательно, . Отсюда получаем . Это уравнение является квадратным относительно и не имеет натуральных корней. Значит, первый случай невозможен.
Следовательно, , и тогда по условию . Рассуждая аналогично, получаем, что . Тогда , откуда или . Подходит только , так как числа и положительны.
Перейдём ко второму равенству . Так как , оно упрощается и принимает вид . Отсюда - чётное число, поэтому . Итак, числа и удовлетворяют системе
Её решениями являются пары чисел , .