Физтех 2023, 10 класс, задача 2

Очень сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2023, 10 класс

( баллов) Известно, что дробь несократима (, ). На доске записана дробь . При каком наибольшем могло оказаться, что дробь сократима на ?

Ответ. .

Решение. Пусть . Так как

т. е.

из этого равенства следует, что делится нацело на . Аналогично доказывается, что делится нацело на . Поэтому

так как числа и взаимно просты и .

Докажем, что значение может достигаться. Для этого достаточно взять , - при этом дробь равна .

Похожие задачи

Физтех 2024, 11 класс, задача 6

(4 баллов) Найдите все тройки целых чисел (a;b;c) такие, что: a2+b=710.

Очень сложная

Теория чисел

Физтех 2023, 11 класс, задача 1

(4 баллов) Натуральные числа a, b, c таковы, что ab делится на 2⁹ 3¹⁰5¹⁰, bc делится на 2¹⁴3¹³5¹³, ac делится на 2¹⁹3¹⁸5³⁰. Найдите наименьшее возможное значение произведения abc.

Очень сложная

Теория чисел

Физтех 2025, 11 класс, задача 1

(3 баллов) Найдите все тройки натуральных чисел(A; B; C) такие, что: • A — четырёхзначное число, составленное из одинаковых цифр, • B — трёхзначное число, хотя бы одна из цифр которого равна 2 • C — двузначное число, хотя бы одна из цифр которого равна 3 • произведение A · B · C является квадратом н

Очень сложная

Теория чисел

Физтех 2025, 10 класс, задача 2

(2 баллов) Десятичная запись натурального числа n состоит из 40,000 девяток. Сколько девяток содержит десятичная запись числа n³?

Очень сложная

Теория чисел