Физтех 2024, 11 класс, задача 6
( баллов) Найдите все тройки целых чисел такие, что:
- ,
- число не кратно ,
- число является квадратом некоторого простого числа,
- выполняется равенство .
Ответ. , , , .
Решение. Так как , где - простое, а (за счёт того, что ), возможны следующие два варианта:
Вычитая из второго равенства первое, в обоих случаях получаем . Рассмотрим возможные остатки от деления на :
- - тогда - делится на ;
- - тогда - также делится на ;
- - тогда , и делимость на отсутствует.
Поскольку число не кратно по условию, возможен лишь третий случай. Но так как простое, . Значит, . Добавляя сюда уравнение , данное в условии, получаем систему с двумя неизвестными и . Решая её, находим , или , .
Исходя из систем , для каждой пары существуют два подходящих значения . Это или .
Итого есть тройки , удовлетворяющие условию: , , , .