Физтех 2023, 11 класс, задача 4
( баллов) Найдите все значения параметра , для каждого из которых найдётся значение параметра , при котором система уравнений
имеет ровно решения.
Ответ. .
Решение. Второе уравнение системы эквивалентно совокупности двух уравнений и . Оно задаёт две непересекающиеся окружности и - с центрами в точках и и радиусами и соответственно. Первое уравнение системы определяет прямую
с угловым коэффициентом . При фиксированном значении - т. е. при фиксированном угле наклона - и при получаем всевозможные прямые с угловым коэффициентом .
Чтобы система имела ровно решения, прямая должна пересекать каждую из окружностей ровно в двух точках. Это возможно в том и только в том случае, когда угловой коэффициент прямой по модулю меньше, чем угловой коэффициент общей внутренней касательной двух данных окружностей (тогда за счёт выбора параметра можно подобрать такое положение прямой, что она пересекает каждую из окружностей дважды).
Проведём общую внутреннюю касательную к окружностям (пусть и - точки касания этой прямой с и соответственно). Пусть - прямая, параллельная и проходящая через точку ; пусть также , (, поэтому - угол наклона общей внутренней касательной). Так как , , то из прямоугольного треугольника имеем
С учётом сказанного выше подходят все значения углового коэффициента, по модулю меньшие, чем , откуда