Физтех 2024, 10 класс, задача 2
( баллов) Найдите наибольшее значение выражения при условии
Ответ
Ответ. .
Решение. Данная система неравенств эквивалентна следующим:
Первое неравенство задаёт полосу между параллельными прямыми и , а второе - полосу между прямыми и . Их пересечением является параллелограмм с вершинами в точках , , , .
Рассмотрим уравнение , где - некоторая константа. Оно задаёт прямую на плоскости, причём в любой точке прямой значение выражения постоянно и равно . Нам необходимо определить максимальное значение , при котором прямая пересекает параллелограмм.
Несложно видеть, что при увеличении прямая движется вверх на плоскости, и самое большое получается, когда прямая проходит через точку . Это значение равно .