Физтех 2020, 11 класс, задача 5
Найдите все значения параметра , при которых система
имеет ровно два решения.
Ответ. .
Решение. Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые и . Они делят плоскость на части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки выражений в этих точках.
Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка . Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке оба выражения и отрицательны. Таким образом, уравнение принимает вид
откуда . С учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках и . Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата с вершинами в точках
Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью , поэтому можно считать, что . С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде
Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через . Если , у уравнения нет решений. При оно задаёт две точки и . Поскольку обе они не принадлежат квадрату , система не имеет решений, и значение не удовлетворяет условию задачи.
Перейдём к случаю . При уравнение принимает вид
и мы получаем окружность радиуса с центром в точке (или её часть, лежащую в полуплоскости , если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены на , множество симметрично относительно оси .
Если , график не пересекает квадрат , и система уравнений не имеет решений. Если , система уравнений имеет два решения - точки и . Если , дуга окружности , , пересекает отрезок дважды; эти две точки, а также им симметричные относительно оси , образуют различных решения системы. Если , дуга окружности , , пересекает отрезки и в двух точках с положительной абсциссой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси , образуют различных решения системы. Если , система уравнений имеет два решения - точки и . Наконец, если , дуга окружности , , не пересекает стороны квадрата , и система уравнений не имеет решений.
Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения только при