Физтех 2023, 11 класс, задача 7
( баллов) В пирамиде медианы , , основания пересекаются в точке . Сфера касается ребра в точке и плоскости основания в точке , лежащей на отрезке . Сфера пересекает прямую в точках и , причём . Известно, что площадь треугольника равна , а .
а) Найдите произведение медиан , , треугольника .
б) Найдите двугранный угол пирамиды при ребре , если дополнительно известно, что сфера касается грани в точке , , а радиус сферы равен .
Ответ. а) ; б) .
Решение. а) Поскольку - касательная к сфере , а и - секущие к ней, то по теореме о касательной и секущей . Аналогично, , а поскольку , то . В итоге получаем , то есть .
Так как как касательные к сфере , проведённые из точки , то
а поскольку медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении считая от вершины, то
Кроме того, . При этом , то есть . Отсюда треугольник прямоугольный и . Далее имеем
откуда , а значит
б) Пусть и - проекции точек и на прямую соответственно. Заметим, что , потому что и - точки касания сферы со сторонами двугранного угла пирамиды при ребре . Поэтому искомый угол равен , где - центр сферы .
Далее имеем
откуда . Так как как касательные к , то , откуда получаем . Из подобия треугольников и имеем
Окончательно,
и
Также .