Физтех 2023, 10 класс, задача 6
( баллов) Найдите все значения параметра , для каждого из которых найдётся значение параметра , при котором система
имеет ровно решения.
Ответ. .
Решение. Рассмотрим неравенство системы. Его левая часть обращается в ноль на окружностях и . Внутри каждой из окружностей один из множителей в левой части положителен, а второй - отрицателен. В области вне окружностей оба множителя положительны. Таким образом, неравенство определяет совокупность двух кругов и с центрами в точках и с радиусами и соответственно.
Первое уравнение системы определяет прямую с угловым коэффициентом . При фиксированном значении - т. е. при фиксированном угле наклона - и при получаем всевозможные прямые с угловым коэффициентом .
Чтобы система имела ровно решения, прямая должна касаться обоих кругов. Это возможно в том и только в том случае, когда угловой коэффициент прямой по модулю равен угловому коэффициенту общей касательной к окружностям (тогда за счёт выбора параметра можно подобрать такое положение прямой, что она касалась обеих окружностей).
Проведём общую внутреннюю касательную к окружностям, имеющую положительный наклон (пусть и - точки касания этой прямой с и соответственно). Пусть - прямая, параллельная и проходящая через точку ; пусть также , (, поэтому - угол наклона общей внутренней касательной). Так как , , то из прямоугольного треугольника имеем
Аналогично рассматриваем случай общей внешней касательной. Пусть - общая внешняя касательная с положительным наклоном ( и - её точки касания с и соответственно). Опускаем из точки перпендикуляр на радиус большей окружности. Тогда и есть угол наклона общей внешней касательной. Имеем ,
Так как подходят и положительные, и отрицательные значения наклона, окончательно получаем или .