Физтех 2023, 11 класс, задача 2

Очень сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2023, 11 класс

( баллов) Дан прямоугольный треугольник . Окружность, касающаяся прямой в точке , пересекает высоту , проведённую к гипотенузе, в точке , а катет - в точке . Известно, что , . Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника .

Ответ. .

Рисунок к решению задачи 2

Решение. Соединим точку с точками и . Так как , то , а по теореме об угле между касательной и хордой. Поэтому . Следовательно, и - соответствующие элементы в подобных прямоугольных треугольниках и . Значит,

По теореме Фалеса

Из полученных равенств следует, что , поэтому - середина , а так как , то - средняя линия треугольника . Отсюда и

Похожие задачи

Физтех 2023, 10 класс, задача 3

(4 баллов) Центр окружности ω лежит на окружности Ω, хорда AB окружности Ω касается ω в точке C. Известно, что AC:CB=7, а радиусы окружностей равны 1 и 5. Найдите AB.

Очень сложная

Планиметрия

Физтех 2024, 11 класс, задача 7

(6 баллов) В основании призмы лежит равносторонний треугольник площади 1. Площади её боковых граней равны 3, 3 и 2. Найдите объём призмы.

Очень сложная

Планиметрия

Физтех 2025, 10 класс, задача 3

(5 баллов) Окружность ω с диаметром AB пересекает сторону BC остроугольного треугольника ABC в точке D. Точка F выбрана на отрезке AC так, что DF perp AC а E — точка пересечения отрезка DF с окружностью ω отличная от D. Найдите AF если AC = 10, AB = 6, BE = 5.

Очень сложная

Планиметрия

Физтех 2025, 11 класс, задача 7

(6 баллов) Шар Ω касается всех рёбер правильной усечённой пирамиды, а шар ω касается всех её граней. Пусть сторона верхнего основания меньше, чем сторона нижнего. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади её нижнего основания.

Очень сложная

Планиметрия