Физтех 2025, 10 класс, задача 4
( баллов) В телеигре ведущий берет несколько коробок и ровно в три из них кладет по одному шарику. Игрок может указать на пять коробок и открыть их. Если в этих коробках лежат все три шарика, то игрок выигрывает. Игроку разрешили открыть шесть коробок. Во сколько раз увеличилась вероятность выигрыша игрока?
Ответ. .
Решение. Пусть всего коробок . Вычислим первоначальную вероятность выигрыша. Общее количество исходов эксперимента равно количеству способов выбрать различных коробок из , то есть .
Количество благоприятных исходов равно : должны быть выбраны все три коробки с шариками и любые две из оставшихся. Значит, вероятность выигрыша равна
Аналогично находим, что если разрешают открыть шесть коробок, вероятность выигрыша равна
Следовательно, вероятность выигрыша увеличилась в раза.
Замечание. Можно посчитать вероятность и иначе. Без ограничения общности можно считать, что игрок выбрал первые пять коробок из . Разместим три шара по коробкам случайным образом. Общее количество способов это сделать равно , а количество выигрышных вариантов равно (все три шара должны быть в первых пяти коробках). Значит, первоначальная вероятность выигрыша равна . Аналогично, вероятность выигрыша, когда разрешают открыть шесть коробок, равна .