Физтех 2020, 9 класс, задача 2
( баллов) Найдите все пары действительных параметров и , при каждой из которых система уравнений
имеет бесконечно много решений.
Ответ. , , , .
Решение. Если , то второе уравнение системы принимает вид , что невозможно. Поэтому .
Оба уравнения системы задают прямые, и бесконечно много решений возникает тогда и только тогда, когда эти прямые совпадают. Значит, их коэффициенты пропорциональны:
Кроме того, коэффициенты при одной и той же переменной не могут одновременно обращаться в нуль в обоих уравнениях.
Из первого равенства в (1) получаем , то есть .
Если , то из второго равенства в (1) следует
откуда и . Получаем пары и .
Если , то
откуда и или . Получаем пары и .