Физтех 2020, 9 класс, задача 1
( баллов) На столе лежит кусочек сахара, вокруг которого по двум окружностям с одной и той же скоростью ползают муравей и жук. На плоскости стола введена прямоугольная система координат, в которой сахар (общий центр окружностей) находится в точке . Муравей двигается по часовой стрелке, а жук - против. В начальный момент времени муравей и жук находятся в точках и соответственно. Определите координаты всех положений жука, в которых расстояние между ним и муравьем будет кратчайшим.
Ответ
Ответ. , , .
Решение. Обозначим точки, в которых находятся муравей и жук, и соответственно, где и - углы, которые образуют радиус-векторы точек и с положительным направлением оси абсцисс.
Заметим, что угол между и равен , и при этом , - углы, соответствующие начальным расположениям насекомых.
Расстояние между муравьем и жуком будет наименьшим тогда, когда угол между векторами и равен нулю. Поскольку и - это радиусы окружностей, и , то угловая скорость муравья в раза больше угловой скорости жука.
Пусть к моменту совпадения направления векторов и жук продвинулся на угол . Тогда
Следовательно,
где Различных точек будет три: при .
Для получаем . Координаты положения жука найдём по формулам:
Остальные точки получаются поворотом точки вокруг начала координат на углы и и имеют, соответственно, координаты и .