Физтех 2025, 9 класс, задача 1

Сложная
Теория чисел
Источник:
Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2025, 9 класс

( баллов) При каком наименьшем натуральном число делится на ?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ. .

Решение. Преобразуем выражение

Так как , и — простое число, то делится на . Если делится на , то . Если делится на , то . Значит, . Осталось заметить, что при выражение делится на .

Похожие задачи

Физтех 2023, 9 класс, задача 2

(4 баллов) Известно, что дробь dfrac ab несократима (a∈mathbb N, b∈mathbb N). На доске записана дробь dfrac{a+b}{a2-8ab+b2}. При каком наибольшем m могло оказаться, что дробь сократима на m?
Сложная
Теория чисел

Физтех 2023, 9 класс, задача 1

(4 баллов) Натуральные числа a, b, c таковы, что ab делится на 311711, bc делится на 318716, ac делится на 321738. Найдите наименьшее возможное значение произведения abc.
Сложная
Теория чисел

Физтех 2021, 11 класс, задача 4

(5 баллов) Найдите количество троек натуральных чисел (a;b;c), удовлетворяющих системе уравнений
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика

Физтех 2021, 9 класс, задача 5

(5 баллов) У фокусника есть набор из 122 различных карточек. У каждой из карточек одна сторона красная, а другая - синяя; на каждой карточке с обеих сторон написано по одному натуральному числу от 1 до 12. Назовём карточку дублем, если числа на обеих сторонах карточки совпадают. Фокусник
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика