Физтех 2021, 9 класс, задача 1

Сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2021, 9 класс

( баллов) Высоты и остроугольного треугольника пересекаются в точке . Точки и - середины отрезков и соответственно. Известно, что , , и при этом . Найдите , площадь треугольника и радиус описанной около него окружности.

Ответ. , , .

Решение. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Так как и - медианы треугольников и , то , . Обозначим . Тогда , (так как в четырёхугольнике углы и прямые). Далее находим: (треугольник равнобедренный), (треугольник равнобедренный), . Поскольку , углы и равны как накрест лежащие, откуда и . Таким образом, .

В треугольнике известно, что , , . По теореме косинусов находим, что

Отсюда радиус описанной около треугольника окружности равен

Треугольник - прямоугольный с углом при вершине , и при этом , . Значит,

Кроме того, , , , поэтому

Похожие задачи

Физтех 2025, 9 класс, задача 7

(6 баллов) На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что angle MNB=angle ANC=80^circ. Найдите angle CAN, если известно, что BN · MA=2BM · NC.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2023, 9 класс, задача 7

(6 баллов) Вписанная окружность ω прямоугольного треугольника ABC с прямым углом B касается его сторон CA, AB, BC в точках D, E, F соответственно. Луч ED пересекает прямую, перпендикулярную BC, проходящую через вершину C, в точке Y; X - вторая точка пересечения прямой FY с окружностью ω. Известно, ч

Сложная

Планиметрия

Физтех 2020, 9 класс, задача 6

(5 баллов) Две окружности одинакового радиуса 9 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй - точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а angle CAD=90^circ. На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что BF=BD (точки

Сложная

Планиметрия

Физтех 2022, 9 класс, задача 6

(5 баллов) Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек с координатами (x;y), удовлетворяющими системе

Сложная

Выражения и преобразования

Планиметрия