Физтех 2021, 11 класс, задача 2
( баллов) Рассмотрим всевозможные тетраэдры , в которых , , . Каждый такой тетраэдр впишем в цилиндр так, чтобы все вершины оказались на его боковой поверхности, причём ребро было параллельно оси цилиндра. Выберем тетраэдр, для которого радиус цилиндра - наименьший из полученных. Какие значения может принимать длина в таком тетраэдре?
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть - середина . и - медианы равнобедренных треугольников и , а значит, биссектрисы и высоты. То есть , . Значит, отрезок перпендикулярен плоскости , следовательно, . Таким образом, лежит в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра (обозначим эту плоскость через ). Сечение цилиндра этой плоскостью - окружность, а является хордой этой окружности. Тогда радиус цилиндра минимален, если - диаметр. Отметим, что это возможно в силу того, что отрезки и длиннее, чем . Действительно, из треугольников и следует, что
Рассмотрим тетраэдр, в котором является диаметром цилиндра. Возможны случая: точки и лежат по одну или по разные стороны плоскости .
Пусть - проекция точек и на плоскость . Угол , так как он вписан в окружность и опирается на её диаметр. в силу равенства треугольников и . Тогда . По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках и соответственно:
Тогда, если точки и лежат по одну сторону от плоскости , то . Если точки и лежат по разные стороны от плоскости , то .