Физтех 2021, 10 класс, задача 4

Сложная
Выражения и преобразования
Источник:
Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2021, 10 класс

( баллов) Решите систему уравнений

Ответ. , .

Решение. Введём новые переменные , . Тогда

и система принимает вид

Из первого уравнения ; подставляем это выражение во второе уравнение и решаем его:

Так как , то подходит только значение . Значит, , и в исходных переменных получаем

Отсюда следует, что система имеет решения: , .

Похожие задачи

Физтех 2023, 9 класс, задача 5

(4 баллов) Ненулевые действительные числа x, y, z удовлетворяют равенствам 3x+2y=z и dfrac3x+dfrac1y=dfrac2z. Найдите наибольшее возможное значение выражения dfrac{3x2-4y2-z2}{x2-6y2}.
Сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2022, 9 класс, задача 6

(5 баллов) Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек с координатами (x;y), удовлетворяющими системе
Сложная
Выражения и преобразования
Планиметрия

Физтех 2020, 10 класс, задача 7

(6 баллов) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет ровно два решения.
Сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2023, 9 класс, задача 6

(5 баллов) Из пункта A в пункт B выезжают одновременно велосипедист и мотоциклист. Оба они движутся с постоянной скоростью, и мотоциклист прибывает в пункт B на 2 часа раньше велосипедиста. Если бы велосипедист ехал со своей скоростью в течение того времени, что понадобилось мотоциклисту на дорогу о
Сложная
Выражения и преобразования