Физтех 2021, 9 класс, задача 2

Сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2021, 9 класс

( баллов) На доске написано несколько попарно различных натуральных чисел. Если самое маленькое число увеличить в раза, то сумма чисел на доске станет равной . Если же самое большое число увеличить в раз, то сумма чисел на доске также станет равной . Какие числа могли быть написаны на доске?

Ответ. , , , или , , .

Решение. Пусть на доске написано чисел (). Тогда

Вычитая из обеих частей этого равенства сумму , получим . Так как числа и взаимно просты, то , . Если , то

что невозможно. Поэтому , откуда , .

Тогда , и сумма оставшихся чисел равна , причём оставшиеся числа больше и меньше . Если это число одно, то оно равно . Если их два, то различные натуральные числа с суммой - это только и . Больше двух чисел быть не может, так как их сумма превосходит .

Похожие задачи

Физтех 2025, 9 класс, задача 2

(3 баллов) Из суммы квадратов пяти последовательных натуральных чисел вычли число 10 и получили куб натурального числа N большего 6. Найдите наименьшее возможное значение N.

Сложная

Теория чисел

Физтех 2024, 9 класс, задача 7

(5 баллов) Найдите все пары целых чисел (x;y), удовлетворяющие уравнению √(2x+2y-x²-y²)+√(1-|x+y-2|)=1.

Сложная

Теория чисел

Выражения и преобразования

Физтех 2021, 9 класс, задача 5

(5 баллов) У фокусника есть набор из 12² различных карточек. У каждой из карточек одна сторона красная, а другая - синяя; на каждой карточке с обеих сторон написано по одному натуральному числу от 1 до 12. Назовём карточку дублем, если числа на обеих сторонах карточки совпадают. Фокусник

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

Физтех 2025, 9 класс, задача 4

(5 баллов) На координатной плоскости рассматриваются ромбы с длиной стороны 5 такие, что абсциссы и ординаты всех четырёх вершин каждого ромба — целые числа из промежутка [1;50]. Сколько существует таких ромбов? Напомним, что квадрат также является ромбом.

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика