Всесиб 2022, отборочный этап, 8 класс, задача 4
( баллов) Как-то раз в средневековой Англии за круглым столом собрались человек. Каждый из них был либо рыцарем, который всегда говорил правду, либо лжецом, который всегда лгал, причём среди присутствовавших имелся хотя бы один рыцарь и хотя бы один лжец. Кроме того, известно, что в этот день был сильный туман, и каждый человек видел только ближайших соседей слева от себя и ближайших соседей справа. Каждого сидящего за столом спросили: «Видишь ли ты среди других людей лжецов больше, чем рыцарей?». Докажите, что кто-то ответил «да».
Ответ
Решение. Предположим, все люди ответили «нет». Найдём тогда соседних рыцаря и лжеца (например, можно взять рыцаря, который по условию есть, и сдвигаться по часовой стрелке, пока не найдётся лжец). Рассмотрим человек , у которых центральных — эти самые рыцарь и лжец (если они идут в другом порядке, перевернём нумерацию).
Так как рыцарь говорит «нет», то среди людей и лжецов не больше, чем рыцарей. То есть, их там не более . Но лжец, откуда следует, что среди и лжецов не более .
Так как лжец говорит «нет», то среди людей и лжецов больше, чем рыцарей. То есть, их там более . Но рыцарь, поэтому среди и лжецов более .
Последние два абзаца противоречат друг другу, так как новый лжец мог появиться только один — это человек . А их количество должно увеличиться хотя бы на — с числа не более до числа больше . Противоречие с предположением, что все ответят «нет».