ВСОШ 2025, 10 класс, задача 6

Очень сложная
Комбинаторика
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2025, 10 класс, Второй тур

( баллов) Изначально на табло горит число . При нажатии на кнопку число на табло изменяется на или . На кнопку нажали раз. Могло ли после этого на табло гореть число , если известно, что на табло не появлялись более чем двузначные числа, а также не появлялись отрицательные числа?

(А. Кузнецов)

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. Не могло.

Первое решение. Назовём числа , , , маленькими, а остальные числа, которые могут появиться на табло, т. е. числа , , , — большими. Заметим, что после нажатия из маленького числа обязательно получается большое, а из большого числа — маленькое. Значит, после нечётного количества операций на табло будет гореть большое число.

Второе решение. Выстроим все целые числа от до в цепочку

Заметим, что если какое-то число горит на табло, то следующим числом может быть только соседнее число в цепочке. Но так как числа и стоят в цепочке на местах одной чётности, получить из числа число за нечётное количество шагов невозможно.

1

Только верный ответ без обоснования.

0
Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 8

(7 баллов) В конференции участвуют 2026 математиков, у каждого из которых есть некоторое количество друзей (возможно, ни одного) среди остальных. Дружба взаимна. Известно, что выполняется условие: если двое математиков дружат, то количества друзей у них отличаются ровно на 1. Найдите наибольшее возм
Очень сложная
Комбинаторика

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 9

(7 баллов) Даны натуральные числа n>k>2. В клетчатом квадрате n × n закрашено несколько клеток. В каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы одна закрашенная клетка, причём в каждом ряду (строке или столбце) закрашенные клетки идут подряд. Известно, что нет целиком закрашенного квадрата k × k. Ка
Очень сложная
Комбинаторика

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 2

(7 баллов) В стране 30 городов и 30 двусторонних авиалиний, соединяющих города по циклу. Можно ли добавить дополнительно ещё 10 авиалиний так, чтобы после этого из любого города можно было добраться до любого другого не более чем за 4 перелёта? (П. Кожевников)
Очень сложная
Комбинаторика

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 8

(7 баллов) В клетчатом прямоугольнике 2 × 100 каждую клетку красят в белый или чёрный цвет. Доминошкой будем называть клетчатый прямоугольник 1 × 2 или 2 × 1. Оказалось, что существует единственный способ разбить данный прямоугольник 2 × 100 на доминошки так, чтобы каждая доминошка покрывала хотя бы
Очень сложная
Комбинаторика