ВСОШ 2025, 11 класс, задача 9

Очень сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2025, 11 класс, Второй тур

( баллов) Саша выбрал многочленов с вещественными коэффициентами так, что сумма любых ста из них имеет вещественный корень. Докажите, что сумма каких-то девяти из них также имеет вещественный корень.

(А. Кузнецов)

Ответ

Решение. Без ограничения общности можно считать, что многочленов с положительным старшим коэффициентом больше, чем с отрицательным (иначе домножим все многочлены на ). Тогда можно выбрать многочленов с положительным старшим коэффициентом. Рассмотрим многочлены

где ; . Получается, что все многочлены тоже с положительными старшими коэффициентами. Значит, если они все не имеют корней, то при всех . Но тогда

то есть многочлен не имеет вещественных корней, противоречие.

Верное решение.

Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 5

(7 баллов) В Средиземье 1000 графств, в одном из которых находится волшебное Кольцо. Раз в день Маг может выбрать любое подмножество графств и получить от волшебного Камня ответ, есть ли Кольцо в одном из этих графств. Камень может ошибиться, но никогда не ошибается два дня подряд. Маг может соверша

Очень сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 9

(7 баллов) Даны натуральные числа n>k>2. В клетчатом квадрате n × n закрашено несколько клеток. В каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы одна закрашенная клетка, причём в каждом ряду (строке или столбце) закрашенные клетки идут подряд. Известно, что нет целиком закрашенного квадрата k × k. Ка

Очень сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 6

(7 баллов) Изначально на табло горит число 0. При нажатии на кнопку число на табло изменяется на 50 или 51. На кнопку нажали 2025 раз. Могло ли после этого на табло гореть число 25, если известно, что на табло не появлялись более чем двузначные числа, а также не появлялись отрицательные числа? (А. К

Очень сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2025, 11 класс, задача 1

(7 баллов) Существуют ли четыре попарно различных положительных числа a, b, c, d, при которых все четыре числа dfrac{a+b}{a-b}, dfrac{b+c}{b-c}, dfrac{c+d}{c-d}, dfrac{d+a}{d-a} — целые? (В. Шурыгин)

Очень сложная

Алгебра