Региональный (9–11 классы)

11 класс

Первый тур

ВСОШ 2025, 11 класс, задача 1

(7 баллов) Существуют ли четыре попарно различных положительных числа a, b, c, d, при которых все четыре числа dfrac{a+b}{a-b}, dfrac{b+c}{b-c}, dfrac{c+d}{c-d}, dfrac{d+a}{d-a} — целые? (В. Шурыгин)

Очень сложная

Алгебра

ВСОШ 2025, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Вещественные числа x, y, z таковы, что 2x>y²+z², 2y>z²+x², 2z>x²+y². Докажите, что каждое из чисел x, y, z меньше 1. (Н. Агаханов)

Очень сложная

Неравенства

ВСОШ 2025, 11 класс, задача 3

(7 баллов) В каждой клетке доски 2 × 200 лежит по рублёвой монете. Даша и Соня играют, делая ходы по очереди, начинает Даша. За один ход можно выбрать любую монету и передвинуть её: Даша двигает монету на соседнюю по диагонали клетку, Соня — на соседнюю по стороне. Если две монеты оказываются в одно

Очень сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2025, 11 класс, задача 4

(7 баллов) Найдите все такие пары целых чисел m и n>2, что ((n-1)!-n) · (n-2)!=m(m-2). Напомним, что k!=1 · 2 · ldots · k — произведение всех натуральных чисел от 1 до k. (А. Кузнецов)

Очень сложная

Теория чисел

ВСОШ 2025, 11 класс, задача 5

(7 баллов) В треугольнике ABC с углом 100^circ при вершине A медианы BK и CN пересекаются в точке M. Прямая, проходящая через точку M и параллельная BC, пересекает описанную окружность треугольника AKN в точках Q и P. Найдите сумму углов BQC и BPC. (К. Бельский)

Очень сложная

Планиметрия

Второй тур

ВСОШ 2025, 11 класс, задача 6

(7 баллов) Изначально на табло горит число 0. При нажатии на кнопку число на табло изменяется на 50 или 51. На кнопку нажали 2025 раз. Могло ли после этого на табло гореть число 25, если известно, что на табло не появлялись более чем двузначные числа, а также не появлялись отрицательные числа? (А. К

Очень сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2025, 11 класс, задача 7

(7 баллов) На 2025 островах Северного Ледовитого океана живут несколько медведей. Каждый медведь иногда совершает заплыв, переплывая с одного острова на другой. Оказалось, что за год каждый медведь совершил хотя бы один заплыв, но никакие два медведя не сделали поровну заплывов. При этом между кажды

Очень сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2025, 11 класс, задача 8

(7 баллов) В пространстве даны скрещивающиеся перпендикулярные прямые AB и CD. Точки E и F — середины отрезков AC и BD соответственно. Докажите, что dfrac{AD+BC}{2}>BD-EF. (А. Кузнецов)

Очень сложная

Стереометрия

ВСОШ 2025, 11 класс, задача 9

(7 баллов) Саша выбрал 199 многочленов с вещественными коэффициентами так, что сумма любых ста из них имеет вещественный корень. Докажите, что сумма каких-то девяти из них также имеет вещественный корень. (А. Кузнецов)

Очень сложная

Алгебра

Комбинаторика

ВСОШ 2025, 11 класс, задача 10

(7 баллов) Несколько карточек выложили в ряд слева направо, на каждой карточке написана буква русского алфавита. Назовём набор из 33 карточек идеальным, если на этих карточках выписаны все буквы в алфавитном порядке слева направо. Известно, что при любом выборе одной буквы L русского алфавита найдут

Очень сложная

Комбинаторика

10 класс

Первый тур

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 1

(7 баллов) Квадратный трёхчлен f(x)=ax²+bx+c имеет два различных вещественных корня x₁ и x₂. Известно, что f(x₁+x₂)=2025. Чему может равняться c? (Н. Агаханов)

Очень сложная

Алгебра

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 2

(7 баллов) В стране 30 городов и 30 двусторонних авиалиний, соединяющих города по циклу. Можно ли добавить дополнительно ещё 10 авиалиний так, чтобы после этого из любого города можно было добраться до любого другого не более чем за 4 перелёта? (П. Кожевников)

Очень сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 3

(7 баллов) Положительные числа a, b, c таковы, что a²b+b²c+c²a=2 и ab²+bc²+ca²=4. Докажите, что из чисел a, b, c какие-то два отличаются более чем на 2. (А. Кузнецов)

Очень сложная

Неравенства

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 4

(7 баллов) Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости отметить конечное число узлов сетки так, чтобы было отмечено не менее двух точек, и для любой пары отмеченных точек нашлась бы отмеченная точка, равноудалённая от них? (И. Ефремов)

Очень сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 5

(7 баллов) Высоты BD и CE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H, высоты треугольника ADE пересекаются в точке F, а точка M — середина стороны BC. Докажите, что BH+CHge 2FM. (А. Кузнецов)

Очень сложная

Планиметрия

Второй тур

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 6

Очень сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 7

(7 баллов) Дана трапеция ABCD. Известно, что angle DAB=angle ABC=90^circ, а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке E, лежащей внутри трапеции. Докажите, что описанные окружности треугольников ABE и CDE касаются. (А. Терёшин)

Очень сложная

Планиметрия

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 8

(7 баллов) В клетчатом прямоугольнике 2 × 100 каждую клетку красят в белый или чёрный цвет. Доминошкой будем называть клетчатый прямоугольник 1 × 2 или 2 × 1. Оказалось, что существует единственный способ разбить данный прямоугольник 2 × 100 на доминошки так, чтобы каждая доминошка покрывала хотя бы

Очень сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 9

(7 баллов) Назовём натуральное число однобоким, если оно больше 1, и все его простые делители заканчиваются на одну и ту же цифру. (Например, числа 19 и 117=3 · 3 · 13 — однобокие, а число 682=2 · 11 · 31 — нет.) Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия с разностью, не превышающей 2025,

Очень сложная

Теория чисел

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 10

(7 баллов) На графике функции y=x² отметили 1000 различных точек, абсциссы которых — целые числа из отрезка [0;100000]. Докажите, что можно выбрать шесть различных отмеченных точек A, B, C, A', B', C' таких, что площади треугольников ABC и A'B'C' равны. (А. Терёшин)

Очень сложная

Алгебра

Комбинаторика

9 класс

Первый тур

ВСОШ 2025, 9 класс, задача 1

(7 баллов) На прямой дороге стоят школа и дома Ани и Бори. Каждый день Аня выходит из дома в 8{:}00 и идет в школу. Однажды Боря выбежал из дома в школу в 8{:}00 и догнал Аню за 30 минут. На следующий день он выбежал в 8{:}10 и догнал Аню за 40 минут. В какое время ему надо выбежать, чтобы встретить

Сложная

Алгебра

ВСОШ 2025, 9 класс, задача 2

(7 баллов) В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведена биссектриса CD. На основании AC отмечена точка F так, что BD=CF. Точка E выбрана таким образом, что четырехугольник CDEF — параллелограмм. Докажите, что BE=BF. (А. Кузнецов)

Сложная

Планиметрия

ВСОШ 2025, 9 класс, задача 3

(7 баллов) Даны квадратные трёхчлены P(x) и Q(x); обозначим p_n=P(n) и q_n=Q(n). Раз в минуту Саша рисует на координатной плоскости прямую: на первой минуте — прямую с уравнением y=p₁x+q₁, на второй — с уравнением y=p₂x+q₂, ldots, на i-

Сложная

Алгебра

ВСОШ 2025, 9 класс, задача 4

Сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2025, 9 класс, задача 5

(7 баллов) Найдите все такие пары целых чисел m и n>2, что ((n-1)!-n) · (n-2)!=m(m-2). Напоминаем, что k!=1 · 2 · ldots · k — произведение всех натуральных чисел от 1 до k. (А. Кузнецов)

Сложная

Теория чисел

Второй тур

ВСОШ 2025, 9 класс, задача 6

(7 баллов) Саша взял кусок нити. Он сложил её пополам, затем ещё раз пополам, и так 10 раз. Затем он взял ножницы и разрезал полученную конструкцию в одном месте (таким образом, он перерезал нить в 1024 местах). В итоге нить распалась на куски. Выяснилось, что длины этих кусков принимают лишь два ра

Сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2025, 9 класс, задача 7

(7 баллов) Пусть на доске написаны несколько целых чисел (некоторые из которых могут быть равными). Скажем, что эти числа образуют удачный набор, если их нельзя разбить на две непустые группы так, чтобы произведение суммы чисел в одной группе и суммы чисел в другой было положительным. Учитель написа

Сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2025, 9 класс, задача 8

(7 баллов) На столе по кругу выложили 100 двухрублёвых и N пятирублёвых монет в некотором порядке. Известно, что, выбрав из круга несколько подряд идущих монет, невозможно получить сумму ровно в 52 рубля. Найдите наибольшее возможное значение числа N. (А. Смолин)

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

ВСОШ 2025, 9 класс, задача 9

(7 баллов) На столе стоят 12 сосудов, выстроенных в 4 ряда по 3 сосуда в каждом. В каждый сосуд налито некоторое (возможно, нулевое) количество воды. Известно, что суммарное количество воды в каждом ряду равно 1 л. При каких α можно утверждать, что на столе найдутся два сосуда, количества воды в кот

Сложная

Неравенства

ВСОШ 2025, 9 класс, задача 10

(7 баллов) Пусть M — середина стороны BC треугольника ABC. На продолжении стороны AB за точку B нашлась такая точка D, что angle ADM=angle ACM=30^circ. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ACD. Найдите значение угла OBC. (А. Кузнецов)

Сложная

Планиметрия