ВСОШ 2025, 11 класс, задача 5

Очень сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2025, 11 класс, Первый тур

( баллов) В треугольнике с углом при вершине медианы и пересекаются в точке . Прямая, проходящая через точку и параллельная , пересекает описанную окружность треугольника в точках и . Найдите сумму углов и .

(К. Бельский)

Ответ

Ответ. .

Решение. Обозначим через точку пересечения прямой с отрезком (см. рис. ). Заметим, что — средняя линия треугольника , поэтому . Значит, по теореме Фалеса

последнее равенство следует из того, что — точка пересечения медиан треугольника .

Рис. 7

Обозначим . Тогда , , . Поскольку четырёхугольник вписанный, имеем

Следовательно, прямая касается описанной окружности треугольника , поэтому , а тогда и . Рассуждая аналогично, получаем, что . Значит,

Верное решение.

Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 7

(7 баллов) Дана трапеция ABCD. Известно, что angle DAB=angle ABC=90^circ, а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке E, лежащей внутри трапеции. Докажите, что описанные окружности треугольников ABE и CDE касаются. (А. Терёшин)

Очень сложная

Планиметрия

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 5

(7 баллов) Высоты BD и CE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H, высоты треугольника ADE пересекаются в точке F, а точка M — середина стороны BC. Докажите, что BH+CHge 2FM. (А. Кузнецов)

Очень сложная

Планиметрия

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 3

(7 баллов) Периметр выпуклого пятиугольника ABCDE равен 2. Пусть O_a, O_b, O_c, O_d, O_e — центры описанных окружностей треугольников EAB, ABC, BCD, CDE, DEA соответственно. Пусть M_a, M_b, M_c, M_d, M_{e
Очень сложная
Планиметрия}

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 8

(7 баллов) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Биссектрисы его углов A и C пересекаются в точке E, а биссектрисы углов B и D — в точке F, причём точки O, E и F лежат внутри четырёхугольника. Описанные окружности треугольников ACE и BDF пересекаются в точках P и Q. Докажите,

Очень сложная

Планиметрия