ВСОШ 2026, 11 класс, задача 8
( баллов) Четырёхугольник вписан в окружность с центром в точке . Биссектрисы его углов и пересекаются в точке , а биссектрисы углов и — в точке , причём точки , и лежат внутри четырёхугольника. Описанные окружности треугольников и пересекаются в точках и . Докажите, что точки , и лежат на одной прямой.
Ответ
Решение. Можно считать, что точка лежит в той же полуплоскости относительно прямой , что и точка . Пусть углы и равны соответственно и . Тогда вписанный угол равен . Значит, . Так как четырёхугольник вписанный, то , откуда . Из равнобедренного треугольника находим . Поэтому , следовательно, , то есть окружность касается прямой . Аналогично, окружность касается прямой . Таким образом, степени точки относительно этих окружностей равны и соответственно. Значит, точка лежит на их радикальной оси, то есть прямой .
Комментарии.
. Поскольку , то в разбираемом расположении точек . Поэтому , то есть точка лежит внутри угла , и вычисление корректно.
. Можно показать, что на прямой также лежит и точка пересечения диагоналей четырёхугольника .
. Хорошо известно, что внутренние биссектрисы четырёхугольника образуют четырёхугольник, вписанный в окружность. Аналогичное верно и для внешних биссектрис четырёхугольника. Тогда можно показать, что центры получившихся окружностей лежат на прямой , кроме того, это верно не только для вписанных четырёхугольников , а для любых выпуклых.
. Как обычно, через обозначается описанная окружность треугольника .
(A) Требуемое в задаче переформулировано в терминах равенства степеней точки относительно окружностей и .
(B) Заявлено, что прямая касается окружности .
(C) Доказано, что прямая касается окружности .
(C′) Указано, что касание следует из подсчёта углов, но сам подсчёт углов не приведён.
(C1) Доказано равенство углов или иное равенство углов, из которого следует касание (C), но вывод про касание не сделан.
(C0) Подсчёты углов без дальнейших продвижений.
(D) Из утверждения (B) и аналогичного ему для окружности выведено решение задачи.
(M) Доказано, что степени точки относительно окружностей и равны, но вывод о коллинеарности точек , , отсутствует.
Штраф (M) применяется при отсутствии вывода о том, что точки , , лежат на одной прямой в полном решении или в частичном продвижении (D). Например, в работе сказано, что степени точки относительно окружностей равны, это и требовалось доказать, однако нигде не указывалось, что такое равенство степеней равносильно требуемому в задаче или что — радикальная ось двух окружностей.
С другой стороны, если без дополнительных пояснений утверждается, что из равенства степеней точки относительно окружностей следует, что точки , , лежат на одной прямой, штраф не применяется.
(X) Доказано, что точка пересечения и лежит на .
(G) Нет объяснений о расположении точек , , (например, как в пункте замечания).
Баллы за части (A), (B), (C) суммируются.