ВСОШ 2026, региональный этап, 11 класс, задача 8
( баллов) Четырёхугольник вписан в окружность с центром в точке . Биссектрисы его углов и пересекаются в точке , а биссектрисы углов и — в точке , причём точки , и лежат внутри четырёхугольника. Описанные окружности треугольников и пересекаются в точках и . Докажите, что точки , и лежат на одной прямой.
Ответ
Решение. Можно считать, что точка лежит в той же полуплоскости относительно прямой , что и точка . Пусть углы и равны соответственно и . Тогда вписанный угол равен . Значит, . Так как четырёхугольник вписанный, то , откуда . Из равнобедренного треугольника находим . Поэтому , следовательно, , то есть окружность касается прямой . Аналогично, окружность касается прямой . Таким образом, степени точки относительно этих окружностей равны и соответственно. Значит, точка лежит на их радикальной оси, то есть прямой .
Комментарии.
. Поскольку , то в разбираемом расположении точек . Поэтому , то есть точка лежит внутри угла , и вычисление корректно.
. Можно показать, что на прямой также лежит и точка пересечения диагоналей четырёхугольника .
. Хорошо известно, что внутренние биссектрисы четырёхугольника образуют четырёхугольник, вписанный в окружность. Аналогичное верно и для внешних биссектрис четырёхугольника. Тогда можно показать, что центры получившихся окружностей лежат на прямой , кроме того, это верно не только для вписанных четырёхугольников , а для любых выпуклых.
. Как обычно, через обозначается описанная окружность треугольника .