ВСОШ 2025, 10 класс, задача 7
( баллов) Дана трапеция . Известно, что , а биссектрисы углов и пересекаются в точке , лежащей внутри трапеции. Докажите, что описанные окружности треугольников и касаются.
(А. Терёшин)
Ответ
Решение. По условию и , поэтому — основания трапеции. Пусть и — середины и , так что — средняя линия трапеции (см. рис. ). При этом параллельна основаниям, поэтому , и значит, — серединный перпендикуляр к . Значит, центр окружности лежит на прямой .
Положим , . Из параллельности следует, что , поэтому .
Видим, что треугольник — прямоугольный (), а значит, — центр окружности .
Далее, в прямоугольном треугольнике имеем , поэтому , а из равенства углов следует , поэтому лежит на прямой .
Итак, — общая точка окружностей и , лежащая на их линии центров . Значит, эти окружности касаются (в точке ).
Замечание. Если доказано, что лежит на средней линии, завершить решение можно следующим образом, без привлечения центров окружностей. Пусть и — проекции точки на основания и . Так как лежит на средней линии, получаем, что — середина . Тогда касается окружности (из симметрии относительно серединного перпендикуляра к ). Далее . Так как , получаем, что касается окружности . Таким образом, является общей касательной окружностей и .
Доказано, что центр окружности лежит на средней линии.
Доказано, что лежит на средней линии или что касательная к окружности , проведённая в точке , перпендикулярна основаниям трапеции.
Доказано, что .