ВСОШ 2026, региональный этап, 10 класс, задача 7
( баллов) На координатной плоскости проведена прямая , где , , — некоторые положительные числа. Известно, что эта прямая касается окружности . Докажите, что если взять три отрезка с длинами , , , то из них можно сложить прямоугольный треугольник.
Ответ
Решение 1. Достаточно доказать, что .
Так как прямая и окружность имеют единственную общую точку, система уравнений , имеет единственное решение. Выразим и подставим в уравнение окружности . Получим
Это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, значит, дискриминант должен обращаться в . Имеем
откуда , что и требуется.
Решение 2. Прямая касается окружности , если расстояние от центра до этой прямой равно . По формуле расстояния от точки до прямой получаем, что
откуда , или .
Замечание. Есть и другие подходы к решению. Например, подставляя и в уравнение прямой, понимаем, что наша прямая пересекает оси координат в точках и . Значит, мы знаем катеты прямоугольного треугольника , а, кроме того, из касания следует, что высота этого треугольника равна . Составив уравнение, связывающее величины , , (скажем, выразив площадь двумя способами: ), получаем нужное нам соотношение .