Региональный (9–11 классы)

11 класс

Первый тур

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 1

(7 баллов) Даны 6 последовательных натуральных чисел. Докажите, что их можно обозначить (в некотором порядке) a, b, c, d, e, f так, чтобы число dfrac{a}{b+c}+dfrac{d}{e+f} было натуральным.

Очень сложная

Алгебра

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Две равные окружности ω₁ и ω₂ проходят через точку A. На окружности ω₁ отмечена точка B так, что прямая AB касается окружности ω₂. На окружности ω₂ отмечена точка C так, что прямая AC касается окружности ω₁. Прямая, проходя

Очень сложная

Планиметрия

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 3

(7 баллов) Петя и Вася играют в игру. В начале игры на столе лежат 1000 куч, состоящих из 1, 2, 3, 4, ldots, 999, 1000 спичек соответственно. Ребята ходят по очереди, начинает Петя. Каждый из мальчиков своим ходом может взять любое ненулевое количество спичек из кучи с наибольшим количеством спичек

Очень сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 4

(7 баллов) Две бесконечные последовательности a₁,a₂,ldots и b₁,b₂,ldots натуральных чисел таковы, что при любых различных натуральных m и k число a_m-b_k делится на m-k. Обязательно ли a_n=b_n при всех натуральных n?

Очень сложная

Теория чисел

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 5

(7 баллов) Некоторые рёбра выпуклого многогранника удалось покрасить в красный цвет так, что в каждую вершину входит ровно два красных ребра, причём эти рёбра лежат в одной грани. Кроме того, в каждой грани оказалось не более двух красных рёбер. Сколько вершин может быть в таком многограннике?

Очень сложная

Стереометрия

Комбинаторика

Второй тур

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 6

(7 баллов) Существуют ли такие составные натуральные числа m>n>1, что у чисел m, n, m+n и m-n наибольший делитель, отличный от самого числа, одинаковый?

Очень сложная

Теория чисел

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 7

(7 баллов) По кругу расставили 2026 попарно различных иррациональных чисел и для каждой пары стоящих рядом чисел a и b вычислили значение выражения dfrac{ab}{a-b}. Может ли ровно одно из 2026 полученных значений быть иррациональным?

Очень сложная

Алгебра

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 8

(7 баллов) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Биссектрисы его углов A и C пересекаются в точке E, а биссектрисы углов B и D — в точке F, причём точки O, E и F лежат внутри четырёхугольника. Описанные окружности треугольников ACE и BDF пересекаются в точках P и Q. Докажите,

Очень сложная

Планиметрия

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 9

(7 баллов) Даны натуральные числа n>k>2. В клетчатом квадрате n × n закрашено несколько клеток. В каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы одна закрашенная клетка, причём в каждом ряду (строке или столбце) закрашенные клетки идут подряд. Известно, что нет целиком закрашенного квадрата k × k. Ка

Очень сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 10

(7 баллов) Пусть a, b, c — положительные числа, причём a+b+c=3. Докажите, что (a/b⁴+2b) +(b/c⁴+2c) +(c/a⁴+2a) ge 1.

Очень сложная

Алгебра

Неравенства

10 класс

Первый тур

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 1

(7 баллов) Даны 6 последовательных натуральных чисел. Докажите, что их можно обозначить (в некотором порядке) буквами a, b, c, d, e, f так, чтобы число dfrac{a}{b+c}+dfrac{d}{e+f} было натуральным.

Очень сложная

Алгебра

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 2

(7 баллов) У Даши и у Саши есть по доске 9 × 9. Даша укладывает на свою доску 40 не перекрывающихся плиток 1 × 2 (так, что плитки занимают 80 клеток, а одна клетка остаётся не покрытой). Пусть у неё есть D способов сделать это. Саша красит на своей доске 41 единичных отрезков-границ между соседними

Очень сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 3

(7 баллов) Периметр выпуклого пятиугольника ABCDE равен 2. Пусть O_a, O_b, O_c, O_d, O_e — центры описанных окружностей треугольников EAB, ABC, BCD, CDE, DEA соответственно. Пусть M_a, M_b, M_c, M_d, M_{e
Очень сложная
Планиметрия}

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 4

(7 баллов) Существует ли такое натуральное число n, что для каких-то трёх его делителей a, b, c, больших 1, произведение (a-1)(b-1)(c-1) делится на n²?

Очень сложная

Теория чисел

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 5

(7 баллов) В Средиземье 1000 графств, в одном из которых находится волшебное Кольцо. Раз в день Маг может выбрать любое подмножество графств и получить от волшебного Камня ответ, есть ли Кольцо в одном из этих графств. Камень может ошибиться, но никогда не ошибается два дня подряд. Маг может соверша

Очень сложная

Комбинаторика

Второй тур

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 6

(7 баллов) На окружности отмечено 16 точек, которые делят окружность на 16 равных дуг. Петя расставил в этих точках (в некотором порядке) 16 последовательных натуральных чисел. Далее для каждой пары диаметрально противоположных точек Петя вычислил сумму чисел в этих точках. Могло ли оказаться, что п

Очень сложная

Теория чисел

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 7

(7 баллов) На координатной плоскости проведена прямая ax+by+c=0, где a, b, c — некоторые положительные числа. Известно, что эта прямая касается окружности x²+y²=1. Докажите, что если взять три отрезка с длинами a, b, c, то из них можно сложить прямоугольный треугольник.

Очень сложная

Планиметрия

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 8

(7 баллов) В конференции участвуют 2026 математиков, у каждого из которых есть некоторое количество друзей (возможно, ни одного) среди остальных. Дружба взаимна. Известно, что выполняется условие: если двое математиков дружат, то количества друзей у них отличаются ровно на 1. Найдите наибольшее возм

Очень сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 9

(7 баллов) Дан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, в котором angle BAC=60^circ. Точки D и E симметричны его центру описанной окружности O относительно сторон AB и AC соответственно. Прямая DE пересекает отрезки AB и AC в точках F и G соответственно. Докажите, что описанные окру

Очень сложная

Планиметрия

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 10

(7 баллов) Дан многочлен f третьей степени с целыми коэффициентами, причём старший коэффициент f равен 1 или -1. Известно, что f имеет три различных корня, каждый из которых равен квадрату натурального числа. Докажите, что в последовательности значений |f(1)|, |f(2)|, |f(3)| и т. д. встретится квадр

Очень сложная

Алгебра

Теория чисел

9 класс

Первый тур

ВСОШ 2026, 9 класс, задача 1

(7 баллов) Числа a, b и c таковы, что a²+b²2 и b²+c²2. Докажите, что a⁴+c⁴4.

Сложная

Алгебра

ВСОШ 2026, 9 класс, задача 2

(7 баллов) В клетчатом квадрате 11 × 11 отметили все 144 вершины клеток. Затем отмеченные точки раскрасили в пять цветов. При каком наибольшем d могло оказаться, что расстояние между любыми двумя одноцветными отмеченными точками не меньше d?

Сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2026, 9 класс, задача 3

Сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2026, 9 класс, задача 4

Сложная

Теория чисел

ВСОШ 2026, 9 класс, задача 5

(7 баллов) Выпуклые четырёхугольники ABCD и KLMN расположены так, что прямые KL, LM, MN и NK являются биссектрисами внешних углов A, B, C и D четырёхугольника ABCD соответственно. При этом ABCD не является параллелограммом. Диагонали четырёхугольника KLMN пересекаются в точке P. Докажите, что если a

Сложная

Планиметрия

Второй тур

ВСОШ 2026, 9 класс, задача 6

(7 баллов) Тренер дал начинающим шахматистам задание: каждый должен подойти к шахматной доске 8 × 8, поставить шахматного короля на одну из угловых клеток и сделать им 21 ход так, чтобы король побывал в каких-то двух других угловых клетках и вернулся в исходную клетку. После этого короля убирают, и

Сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2026, 9 класс, задача 7

(7 баллов) Дано нечётное простое число p. Найдите все пары натуральных чисел a и b таких, что dfrac{a}{p}+dfrac{p}{b}=2.

Сложная

Теория чисел

Уравнения

ВСОШ 2026, 9 класс, задача 8

(7 баллов) Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Прямая AO пересекает отрезок BC в точке D. Точка E выбрана на отрезке BC так, что D — середина отрезка CE. Основание T перпендикуляра, опущенного из E на CO, лежит в треугольнике ABD. Прямая BT пересекает окружность, о

Сложная

Планиметрия

ВСОШ 2026, 9 класс, задача 9

(7 баллов) Числа a, b и c больше единицы и удовлетворяют равенству (a-dfrac1b)(b-dfrac1c)(c-dfrac1a)=1. Докажите, что (a-frac1a)²+(b-frac1b)²+(c-frac1c)²ge frac ba+frac cb+frac ac.

Сложная

Алгебра

Неравенства

ВСОШ 2026, 9 класс, задача 10

(7 баллов) В большой компании у каждого человека ровно 100 знакомых в этой же компании (если A знаком с B, то и B знаком с A). Оказалось, что у любого человека среди его 100 знакомых есть хотя бы одна пара незнакомых друг с другом людей. При каком наибольшем k можно утверждать, что в компании найдёт

Сложная

Комбинаторика