ВСОШ 2026, 9 класс, задача 6
( баллов) Тренер дал начинающим шахматистам задание: каждый должен подойти к шахматной доске , поставить шахматного короля на одну из угловых клеток и сделать им ход так, чтобы король побывал в каких-то двух других угловых клетках и вернулся в исходную клетку. После этого короля убирают, и к доске подходит следующий ребёнок. Четыре ребёнка по очереди выполнили задание. Обязательно ли после этого найдутся такие две клетки и , что хотя бы два ребёнка сделали ход королём с клетки на клетку ?
Ответ
Ответ. Не обязательно.
Решение. Пример четырёх обходов, совершённых детьми, при которых таких двух клеток не найдётся, приведён на рисунке ниже.
Замечание. Существуют и немного другие примеры. Укажем общие свойства всех возможных примеров.
В каждую угловую клетку король должен (у разных детей) входить с разных клеток и уходить с неё на разные. Поскольку у угловых клеток всего три соседних, каждая угловая клетка должна быть посещена ровно трижды. Далее, между любыми двумя посещениями угловых клеток должно пройти ровно ходов. У каждого ребёнка король должен подряд посетить две угловых клетки, расположенных «по диагонали» друг от друга, и между этими клетками он должен совершить диагональных ходов. Значит, обе диагонали доски должны быть пройдены по два раза в разных направлениях. Отсюда уже можно вывести, что порядок посещения угловых клеток у четырёх детей должен быть таким же, как в примере сверху, либо же обратным (у всех детей). Наконец, на пути между двумя соседними угловыми клетками (скажем, находящимися в одной строке) первый и последний ход должны быть горизонтальными, а вот между ними путь может выглядеть по-разному.
(⋆) Любой верный пример четырёх обходов доски, удовлетворяющих требованиям.
(0) Пример, в котором не указаны направления обходов, но их можно указать так, чтобы получился верный пример.
(1) То же, но указано направление лишь одного обхода из четырёх.
(2) То же, но указано направление хотя бы двух обходов.