ВСОШ 2025, 9 класс, задача 8

Ответ. .

Решение. Покажем, как выложить двухрублёвых и пятирублёвых монет по кругу так, чтобы выполнялось условие задачи. Пронумеруем места по кругу по часовой стрелке числами от до и выложим двухрублёвые монеты на места, номера которых кратны (т. е. , , ), и на места, номера которых дают остаток при делении на (т. е. , , ); на остальные места выложим пятирублёвые монеты. Тогда между каждой парой соседних двухрублёвых монет находятся или пятирублёвых монет, причём эти количества чередуются.

Рассмотрим некоторый набор подряд идущих монет; покажем, что они не дают сумму в рубля. Если среди них нет двухрублёвых, то сумма делится на , а не делится на . Если среди них ровно две двухрублёвых, сумма даёт остаток при делении на , то есть тоже не равна . Если двухрублёвая монета одна, вместе с ней в наборе может быть не более пятирублёвых, то есть сумма не превосходит рублей. Наконец, пусть двухрублёвых монет в наборе хотя бы три, рассмотрим три двухрублёвых монеты, лежащих в наборе подряд. Между ними есть пятирублёвых; суммарное достоинство этих монет уже равно рублю. Значит, набрана сумма либо в рубль, либо хотя бы в рубля. Таким образом, полученная раскладка удовлетворяет условию.

Осталось показать, что при любой раскладке двухрублёвых и не менее пятирублёвых монет обязательно можно выбрать несколько монет подряд с суммарным достоинством рубля. Пронумеруем двухрублёвые монеты числами , , , в порядке их расположения по часовой стрелке. Выделим двухрублёвых монет с нечётными номерами. Между выделенными монетами есть промежутков; в одном из них окажется не менее пятирублёвых монет, иначе общее количество пятирублёвых монет не превосходило бы . Итак, мы нашли промежуток, в котором есть ровно одна двухрублёвая монета и хотя бы пятирублёвых; тогда можно взять и пятирублёвых монет так, чтобы они лежали подряд. Тогда и наберётся сумма ровно в рубля.