ВСОШ 2026, региональный этап, 10 класс, задача 10
( баллов) Дан многочлен третьей степени с целыми коэффициентами, причём старший коэффициент равен или . Известно, что имеет три различных корня, каждый из которых равен квадрату натурального числа. Докажите, что в последовательности значений , , и т. д. встретится квадрат натурального числа.
Ответ
Решение. Из условия следует, что
где , , — натуральные числа. Далее, не умаляя общности, считаем, что .
Положим . Очевидно, — натуральное (так как ). Тогда
Тогда
что нам и подходит.