ВСОШ 2026, 10 класс, задача 10

Очень сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2026, 10 класс, Второй тур

( баллов) Дан многочлен третьей степени с целыми коэффициентами, причём старший коэффициент равен или . Известно, что имеет три различных корня, каждый из которых равен квадрату натурального числа. Докажите, что в последовательности значений , , и т. д. встретится квадрат натурального числа.

Ответ

Решение. Из условия следует, что

где , , — натуральные числа. Далее, не умаляя общности, считаем, что .

Положим . Очевидно, — натуральное (так как ). Тогда

Тогда

что нам и подходит.

(A) Переформулировка без многочлена в терминах выражения .

(B) Нахождение значений в точках , , .

(C) Отмечено, что — точный квадрат.

(D) Отмечено, что — квадрат натурального числа.

(E) Верно найдено нужное целое значение , но не доказано, что оно положительно.

−1

Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 1

(7 баллов) Квадратный трёхчлен f(x)=ax²+bx+c имеет два различных вещественных корня x₁ и x₂. Известно, что f(x₁+x₂)=2025. Чему может равняться c? (Н. Агаханов)

Очень сложная

Алгебра

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 9

(7 баллов) Назовём натуральное число однобоким, если оно больше 1, и все его простые делители заканчиваются на одну и ту же цифру. (Например, числа 19 и 117=3 · 3 · 13 — однобокие, а число 682=2 · 11 · 31 — нет.) Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия с разностью, не превышающей 2025,

Очень сложная

Теория чисел

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 4

(7 баллов) Существует ли такое натуральное число n, что для каких-то трёх его делителей a, b, c, больших 1, произведение (a-1)(b-1)(c-1) делится на n²?

Очень сложная

Теория чисел

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 4

(7 баллов) Две бесконечные последовательности a₁,a₂,ldots и b₁,b₂,ldots натуральных чисел таковы, что при любых различных натуральных m и k число a_m-b_k делится на m-k. Обязательно ли a_n=b_n при всех натуральных n?

Очень сложная

Теория чисел