ВСОШ 2025, 10 класс, задача 1

Очень сложная
Алгебра
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2025, 10 класс, Первый тур

( баллов) Квадратный трёхчлен имеет два различных вещественных корня и . Известно, что . Чему может равняться ?

(Н. Агаханов)

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. .

Первое решение. По теореме Виета . Значит,

Тогда из условия следует, что .

Второе решение. График симметричен относительно прямой — вертикальной прямой, проходящей через вершину параболы. Поэтому для любых двух значений , таких, что , будет выполнено . В частности, . Но .

Третье решение. Подставим:

Так как и — корни, то , а по теореме Виета , получаем, что

1

Присутствует верный ответ (без обоснования).

+1
2

Сумма выражена через коэффициенты уравнения.

2
Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 7

(7 баллов) По кругу расставили 2026 попарно различных иррациональных чисел и для каждой пары стоящих рядом чисел a и b вычислили значение выражения dfrac{ab}{a-b}. Может ли ровно одно из 2026 полученных значений быть иррациональным?
Очень сложная
Алгебра

ВСОШ 2025, 11 класс, задача 1

(7 баллов) Существуют ли четыре попарно различных положительных числа a, b, c, d, при которых все четыре числа dfrac{a+b}{a-b}, dfrac{b+c}{b-c}, dfrac{c+d}{c-d}, dfrac{d+a}{d-a} — целые? (В. Шурыгин)
Очень сложная
Алгебра

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 10

(7 баллов) Пусть a, b, c — положительные числа, причём a+b+c=3. Докажите, что (a/b4+2b) +(b/c4+2c) +(c/a4+2a) ge 1.
Очень сложная
Алгебра
Неравенства

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 10

(7 баллов) На графике функции y=x2 отметили 1000 различных точек, абсциссы которых — целые числа из отрезка [0;100000]. Докажите, что можно выбрать шесть различных отмеченных точек A, B, C, A', B', C' таких, что площади треугольников ABC и A'B'C' равны. (А. Терёшин)
Очень сложная
Алгебра
Комбинаторика