Очень сложная
Алгебра
Неравенства
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2026, 11 класс, Второй тур

ВСОШ 2026, региональный этап, 11 класс, задача 10

( баллов) Пусть , , — положительные числа, причём . Докажите, что

Фото или PDF, до 20 МБ на файл, до 10 файлов. Ответ проверят вручную.
Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Решение 1. Заметим, что

Здесь мы воспользовались тем, что . Оценим две другие дроби аналогично. По неравенству о средних

Кроме того, из неравенства Коши мы получаем, что

Поэтому . Собирая все оценки вместе, получаем требуемое неравенство:

Решение 2. По неравенству о средних: , поэтому . Тогда заметим, что

Положим , , , отметим, что . В новых обозначениях

Оценивая аналогично два других слагаемых, нам остаётся доказать, что

Заметим, что по неравенству о средних . Наконец, применим к сумме дробей неравенство Коши—Буняковского—Шварца:

1

Критерии оценивания для решения 1. Решение разбивается на части: (A) — оценка ; (B) — оценка выражения и сведение к неравенству ; (C) — доказательство неравенства .

—
2

Продвижения за части (A), (B), (C) суммируются. Баллы внутри каждой из частей друг с другом не суммируются.

—
3

(A) Доказана оценка .

3
4

(A1) Сформулирована оценка .

1
5

(A2) Приведён рабочий план доказательства оценки с ошибками в переходах или без достаточных обоснований некоторых неравенств.

Примеры применения критерия (A2).

  • При доказательстве оценки неравенство не поясняется или доказывается неверно.
  • Неравенство при используется без доказательства.
2
6

(B) Задача сведена к доказательству неравенства .

2
7

(B0) После оценки без дополнительных пояснений утверждается, что достаточно доказать неравенство .

0
8

(B1) Неравенство при используется без доказательства или формулируется как известный факт.

−0
9

(B2) После оценки указано, что , при этом отсутствует вывод, что теперь достаточно доказать неравенство .

1
10

(C) После оценки доказано неравенство .

2
11

Примеры применения критерия (C).

—
12

Неравенство использовано без обоснования или сформулировано как известный факт.

0
13

Неравенство доказано с неточностями или пробелами в обоснованиях.

≤1
14

Неравенство доказано, но в работе нет оценки .

0
15

Критерии оценивания для решения 2.

—
16

(P) Доказана оценка .

2
17

(Q) После замены переменных задача сведена к неравенству .

2
18

(R) Доказательство неравенства .

3
19

(Z) Доказано, что .

0
20

(Z′) Сформулировано, что и далее используется без дополнительных пояснений.

−0
21

(M1) Используется, что , но этот факт даже не формулируется.

−1
22

(M2) Неравенство доказано при условии , а не .

−2
23

Продвижения по частям (P), (Q), (R) суммируются друг с другом и со штрафами (M). При этом сами штрафы (M1) и (M2) не суммируются.

—
Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2026, региональный этап, 11 класс, задача 1

(7 баллов) Даны 6 последовательных натуральных чисел. Докажите, что их можно обозначить (в некотором порядке) a, b, c, d, e, f так, чтобы число dfrac{a}{b+c}+dfrac{d}{e+f} было натуральным.
Очень сложная
Алгебра

ВСОШ 2025, региональный этап, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Вещественные числа x, y, z таковы, что 2x>y2+z2, 2y>z2+x2, 2z>x2+y2. Докажите, что каждое из чисел x, y, z меньше 1. (Н. Агаханов)
Очень сложная
Неравенства

ВСОШ 2026, региональный этап, 10 класс, задача 10

(7 баллов) Дан многочлен f третьей степени с целыми коэффициентами, причём старший коэффициент f равен 1 или -1. Известно, что f имеет три различных корня, каждый из которых равен квадрату натурального числа. Докажите, что в последовательности значений |f(1)|, |f(2)|, |f(3)| и т. д. встретится квадр
Очень сложная
Алгебра
Теория чисел

ВСОШ 2026, региональный этап, 10 класс, задача 1

(7 баллов) Даны 6 последовательных натуральных чисел. Докажите, что их можно обозначить (в некотором порядке) буквами a, b, c, d, e, f так, чтобы число dfrac{a}{b+c}+dfrac{d}{e+f} было натуральным.
Очень сложная
Алгебра