ВСОШ 2026, 11 класс, задача 10
( баллов) Пусть , , — положительные числа, причём . Докажите, что
Ответ
Решение 1. Заметим, что
Здесь мы воспользовались тем, что . Оценим две другие дроби аналогично. По неравенству о средних
Кроме того, из неравенства Коши мы получаем, что
Поэтому . Собирая все оценки вместе, получаем требуемое неравенство:
Решение 2. По неравенству о средних: , поэтому . Тогда заметим, что
Положим , , , отметим, что . В новых обозначениях
Оценивая аналогично два других слагаемых, нам остаётся доказать, что
Заметим, что по неравенству о средних . Наконец, применим к сумме дробей неравенство Коши—Буняковского—Шварца:
Критерии оценивания для решения 1. Решение разбивается на части: (A) — оценка ; (B) — оценка выражения и сведение к неравенству ; (C) — доказательство неравенства .
Продвижения за части (A), (B), (C) суммируются. Баллы внутри каждой из частей друг с другом не суммируются.
(A) Доказана оценка .
(A1) Сформулирована оценка .
(A2) Приведён рабочий план доказательства оценки с ошибками в переходах или без достаточных обоснований некоторых неравенств.
Примеры применения критерия (A2).
- При доказательстве оценки неравенство не поясняется или доказывается неверно.
- Неравенство при используется без доказательства.
(B) Задача сведена к доказательству неравенства .
(B0) После оценки без дополнительных пояснений утверждается, что достаточно доказать неравенство .
(B1) Неравенство при используется без доказательства или формулируется как известный факт.
(B2) После оценки указано, что , при этом отсутствует вывод, что теперь достаточно доказать неравенство .
(C) После оценки доказано неравенство .
Примеры применения критерия (C).
Неравенство использовано без обоснования или сформулировано как известный факт.
Неравенство доказано с неточностями или пробелами в обоснованиях.
Неравенство доказано, но в работе нет оценки .
Критерии оценивания для решения 2.
(P) Доказана оценка .
(Q) После замены переменных задача сведена к неравенству .
(R) Доказательство неравенства .
(Z) Доказано, что .
(Z′) Сформулировано, что и далее используется без дополнительных пояснений.
(M1) Используется, что , но этот факт даже не формулируется.
(M2) Неравенство доказано при условии , а не .
Продвижения по частям (P), (Q), (R) суммируются друг с другом и со штрафами (M). При этом сами штрафы (M1) и (M2) не суммируются.