ВСОШ 2026, 11 класс, задача 7
( баллов) По кругу расставили попарно различных иррациональных чисел и для каждой пары стоящих рядом чисел и вычислили значение выражения . Может ли ровно одно из полученных значений быть иррациональным?
Ответ
Ответ. Не может.
Решение 1. Заметим, что для ненулевых число
рационально в том и только в том случае, когда рационально обратное число .
Обозначим числа, расставленные по кругу, через , где , и предположим, что рациональные значения были получены для всех пар, кроме пары . Тогда, в силу сказанного выше, числа
— все рациональные. Следовательно, их сумма — тоже рациональное число, а это означает, что число также рационально, противоречие.
Решение 2. Как и в первом решении, положим . Покажем, что если числа и рациональны, то число тоже рационально. Мы знаем, что и , откуда и . Отметим, что знаменатели отличны от нуля, поскольку числа и рациональны, а число иррационально, а также , поскольку . Таким образом,
Перейдём к решению задачи. Обозначим числа, расставленные по кругу, через , . Пусть числа рациональны при . Поскольку и , то . Так как ещё и , получаем, что . Продолжая это рассуждение, мы получаем, что все числа рациональны, в частности, число , противоречие.
(A) В решениях, аналогичных приведённым выше, отсутствуют пояснения о том, что знаменатели отличны от нуля: в первом решении и , во втором решении.
(B) Промежуточные вычисления содержат деление на выражение, которое может быть равно нулю.