ВСОШ 2026, 11 класс, задача 1
( баллов) Даны последовательных натуральных чисел. Докажите, что их можно обозначить (в некотором порядке) , , , , , так, чтобы число было натуральным.
Ответ
Решение 1. Пусть — данные натуральные числа. Положим , , , , , . Тогда
и аналогично . Видим, что сумма наших дробей равна .
Решение 2. Пусть — данные натуральные числа. Положим , , , , , . Тогда
Замечание. Помимо варианта из решения подходят также и другие варианты, в которых пары и , и , и симметричны относительно середины отрезка ; в таком случае , и наша сумма дробей равна .
17
(A) Предъявлено обозначение чисел, которое работает (даже без явного вычисления ).
23
(B) Приведены частные примеры, но не ясно, как они обобщаются для произвольного .
Максимум: 7