ВСОШ 2025, 10 класс, задача 10

Решение. Докажем лемму.

Лемма. Пусть точек , , , , , лежат на параболе, и их абсциссы равны , , , , , соответственно. Пусть . Тогда .

Доказательство. Не умаляя общности, будем считать, что . Пусть , , — проекции точек , , на ось . Тогда выражается через площади прямоугольных трапеций:

По формуле площади трапеции

Аналогично выражаем площадь для других трапеций, и после преобразований получаем

То же выражение получим и для , поскольку , , .

Положим , . Упорядочим абсциссы отмеченных точек по возрастанию: . Рассмотрим отрезков , , , . Если среди них найдутся отрезков равной длины, то мы сможем найти различных отмеченных точек, удовлетворяющих условию леммы, и значит, утверждение задачи будет выполнено. Действительно, занумеруем эти равных отрезков по возрастанию абсцисс левых концов. Тогда в качестве проекций точек , , возьмём левые концы -го, -го и -го отрезков, а в качестве проекций , , возьмём правые концы тех же отрезков. Легко видеть, что выбранные таким образом точки , , , , , различны.

Предположим теперь, что среди отрезков , , , нет пяти отрезков равной длины. Тогда для каждой длины среди этих отрезков есть не более четырёх отрезков длины . Следовательно, суммарная длина этих отрезков не меньше чем

Получили противоречие, завершающее решение.

Замечание 1. Если в условии задачи убрать требование различности точек, то решение можно упростить: достаточно научиться выбирать отмеченные точки , , , , абсциссы , , , которых удовлетворяют равенству ; в таком случае (или, эквивалентно, ).

Замечание 2. Из оценки сверху площадей треугольников решение не получается: можно показать, что площадь треугольника , где , , — отмеченные точки из условия, имеет вид , где — натуральное; количество таких значений гораздо больше, чем количество треугольников с вершинами в отмеченных точках (равное ).