ВСОШ 2025, 10 класс, задача 4

Ответ. Нельзя.

Решение. Предположим, что требуемое возможно. Введём систему координат так, чтобы узлы являлись в точности точками с целыми координатами.

Раскрасим узлы сетки в шахматном порядке. Предположим, что нашлись два отмеченных узла разных цветов: — белый, — чёрный. Пусть нашёлся узел , равноудалённый от них, и пусть, не умаляя общности, — белый. Тогда у вектора координаты одной чётности, значит, по теореме Пифагора равно сумме квадратов целых чисел одной чётности, т. е. чётно. Аналогично рассуждая, получаем, что нечётно — противоречие.

Итак, все отмеченные узлы имеют один цвет. Проведём через все узлы этого цвета прямые с угловым коэффициентом — получилась новая квадратная сетка с шагом (длиной стороны квадрата) . Видим, что отмеченные точки являются узлами этой новой сетки. Продолжая рассуждать аналогично, получим, что отмеченные узлы лежат на квадратной сетке с шагом , , , . Но шаг сетки не может превышать константы — расстояния между двумя фиксированными отмеченными точками. Противоречие.

Замечание 1. Утверждение задачи станет неверным, если в условии задачи позволить отмеченным точкам не быть узлами решётки. Контрпримером может служить множество вершин правильного нечётноугольника.

Замечание 2. После доказательства того, что все отмеченные точки имеют один цвет (в шахматной раскраске), завершить решение можно по-другому.

Предположим теперь, что есть два отмеченных узла и с абсциссами разной чётности. Рассмотрим узел такой, что . Пусть, для определённости, имеет нечётную абсциссу (а значит, и нечётную ординату). Тогда имеет чётную абсциссу (а значит, и чётную ординату). Тогда делится на , имеет вид

— не делится на — противоречие.

Итак, мы доказали, что все отмеченные узлы лежат на клетчатой сетке со стороной . Продолжая аналогичные рассуждения, получаем, что все отмеченные узлы лежат в некоторой сетке с шагом для любого натурального , что, очевидно, невозможно.