ВСОШ 2026, 10 класс, задача 4
( баллов) Существует ли такое натуральное число , что для каких-то трёх его делителей , , , больших , произведение делится на ?
Ответ
Ответ. Не существует.
Решение 1. Предположим, что такие , , и нашлись. Не умаляя общности, считаем, что . Так как — делитель числа , то делится на . Следовательно, делится на . А поскольку , получаем, что делится на .
Однако (в силу и ), что противоречит делимости на .
Решение 2. Предположим, что такие , , и нашлись. Рассмотрим какой-то простой делитель числа . Предположим, что его степень вхождения в равна (то есть ). Если все числа , и делятся на , то числа , , не делятся на , но тогда и их произведение не делится на , и, следовательно, оно не может делиться и на — противоречие.
Значит, среди трёх чисел , и на может делиться не более двух, в разложение каждого из которых входит не более чем в степени (поскольку , , — делители ). Тогда входит в разложение числа в степени не более (то есть ).
Видим, что для каждого простого делителя числа степень его вхождения в не более чем степень его вхождения в (). А других простых делителей у нет. Следовательно, , откуда .
Поэтому , что противоречит делимости на .
(A) Из условия выведено, что делится на (или аналогичная делимость).
(B) Доказано, что .
(C) Доказано, что .
Баллы за продвижения (A) и (C) НЕ суммируются.