ВСОШ 2025, 11 класс, задача 4
( баллов) Найдите все такие пары целых чисел и , что . Напомним, что — произведение всех натуральных чисел от до .
(А. Кузнецов)
Ответ
Ответ. , .
Решение. Заметим, что
Пусть . Заметим, что числа и взаимно просты. Предположим, что это не так, и оба этих числа делятся на простое число . Тогда число
тоже делится на . Тогда делится на , а не кратно , противоречие. Таким образом, произведение взаимно простых чисел и — точный квадрат, тогда и каждое из них точный квадрат. Однако число при даёт остаток при делении на , поэтому оно точным квадратом быть не может.
Остаётся разобрать случаи . При получается , решений нет. При мы получаем: , что даёт единственное решение , .
Только ответ.
Потерян хотя бы один случай.
Получено равенство .
Доказано, что оба сомножителя в левой части являются квадратами (при ).
Доказано, что не существует решений при .