ВСОШ 2025, 10 класс, задача 9
( баллов) Назовём натуральное число однобоким, если оно больше , и все его простые делители заканчиваются на одну и ту же цифру. (Например, числа и — однобокие, а число — нет.) Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия с разностью, не превышающей , состоящая из натуральных чисел, каждое из которых — однобокое?
(А. Чиронов)
Ответ
Ответ. Не существует.
Решение. Пусть у нас есть возрастающая прогрессия с разностью из однобоких чисел. Разберёмся, что мешает числу быть слишком маленьким.
Будем использовать такое известное утверждение.
Пусть взаимно просто с натуральным . Тогда среди любых последовательных членов арифметической прогрессии с разностью есть член, делящийся на . (Более того, числа , , , , дают все различных остатков при делении на ; поскольку если остатки у чисел и для некоторых совпали, то должно делиться на , а значит, в силу взаимной простоты и , должно делиться на , что неверно.)
Далее, пусть и — два простых числа, оканчивающиеся на разные цифры, причём такие, что ; назовём такую пару вредной. Тогда если не делится ни на одно из чисел , , то, согласно утверждению, в нашей прогрессии есть член, делящийся на , что невозможно для однобокого числа.
Вывод: для каждой вредной пары простых чисел делится хотя бы на одно из них.
Теперь рассмотрим простые числа , , , , . Любые два из них образуют вредную пару, значит, делится на все эти числа, кроме, возможно, одного. Кроме того, и — тоже вредная пара, значит, делится хотя бы на одно из них. Отсюда
Противоречие.
Задача верно решена для с некоторыми ограничениями, например для нечётных , для , кратных , и т. д. Не суммируется с другими продвижениями.
Для некоторых пар простых чисел доказано, что делится хотя бы на одно из чисел этой пары.
При использовании утверждения приведена его верная формулировка, но отсутствует доказательство.