ВСОШ 2026, 11 класс, задача 6

Очень сложная
Теория чисел
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2026, 11 класс, Второй тур

( баллов) Существуют ли такие составные натуральные числа , что у чисел , , и наибольший делитель, отличный от самого числа, одинаковый?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. Существуют.

Решение. Положим , . Тогда и , у каждого из четырёх чисел наибольший делитель, отличный от самого числа, равен .

Замечание. Несложно показать, что все примеры имеют вид , , где — натуральное число, не кратное , , и .

1

(A) Отсутствие обоснования верного примера.

−0
2

(A1) Арифметические ошибки при вычислении верного примера, не влияющие на суть решения.

−0
3

(B) Приведён верный пример, а также ещё хотя бы один неверный пример, про который ошибочно утверждается, что этот пример правильный.

4
4

(Z) Нет верного примера.

0
Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 9

(7 баллов) Назовём натуральное число однобоким, если оно больше 1, и все его простые делители заканчиваются на одну и ту же цифру. (Например, числа 19 и 117=3 · 3 · 13 — однобокие, а число 682=2 · 11 · 31 — нет.) Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия с разностью, не превышающей 2025,
Очень сложная
Теория чисел

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 4

(7 баллов) Существует ли такое натуральное число n, что для каких-то трёх его делителей a, b, c, больших 1, произведение (a-1)(b-1)(c-1) делится на n2?
Очень сложная
Теория чисел

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 6

(7 баллов) На окружности отмечено 16 точек, которые делят окружность на 16 равных дуг. Петя расставил в этих точках (в некотором порядке) 16 последовательных натуральных чисел. Далее для каждой пары диаметрально противоположных точек Петя вычислил сумму чисел в этих точках. Могло ли оказаться, что п
Очень сложная
Теория чисел

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 4

(7 баллов) Две бесконечные последовательности a1,a2,ldots и b1,b2,ldots натуральных чисел таковы, что при любых различных натуральных m и k число am-bk делится на m-k. Обязательно ли an=bn при всех натуральных n?
Очень сложная
Теория чисел