ВСОШ 2026, 11 класс, задача 4

Очень сложная
Теория чисел
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2026, 11 класс, Первый тур

( баллов) Две бесконечные последовательности и натуральных чисел таковы, что при любых различных натуральных и число делится на . Обязательно ли при всех натуральных ?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. Обязательно.

Решение. Зафиксируем натуральное число и покажем, что . Пусть — натуральное число, большее и . Из условия задачи следует, что числа

кратны . Значит, число

тоже делится на . Однако, поскольку и , это возможно лишь в случае , что и требовалось.

1

(A) Доказано, что числа и дают одинаковый остаток от деления на любое натуральное число .

≥5
Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 4

(7 баллов) Существует ли такое натуральное число n, что для каких-то трёх его делителей a, b, c, больших 1, произведение (a-1)(b-1)(c-1) делится на n2?
Очень сложная
Теория чисел

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 6

(7 баллов) На окружности отмечено 16 точек, которые делят окружность на 16 равных дуг. Петя расставил в этих точках (в некотором порядке) 16 последовательных натуральных чисел. Далее для каждой пары диаметрально противоположных точек Петя вычислил сумму чисел в этих точках. Могло ли оказаться, что п
Очень сложная
Теория чисел

ВСОШ 2025, 11 класс, задача 4

(7 баллов) Найдите все такие пары целых чисел m и n>2, что ((n-1)!-n) · (n-2)!=m(m-2). Напомним, что k!=1 · 2 · ldots · k — произведение всех натуральных чисел от 1 до k. (А. Кузнецов)
Очень сложная
Теория чисел

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 9

(7 баллов) Назовём натуральное число однобоким, если оно больше 1, и все его простые делители заканчиваются на одну и ту же цифру. (Например, числа 19 и 117=3 · 3 · 13 — однобокие, а число 682=2 · 11 · 31 — нет.) Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия с разностью, не превышающей 2025,
Очень сложная
Теория чисел