Очень сложная
Теория чисел
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2026, 11 класс, Первый тур

ВСОШ 2026, региональный этап, 11 класс, задача 4

( баллов) Две бесконечные последовательности и натуральных чисел таковы, что при любых различных натуральных и число делится на . Обязательно ли при всех натуральных ?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. Обязательно.

Решение. Зафиксируем натуральное число и покажем, что . Пусть — натуральное число, большее и . Из условия задачи следует, что числа

кратны . Значит, число

тоже делится на . Однако, поскольку и , это возможно лишь в случае , что и требовалось.

1

(A) Доказано, что числа и дают одинаковый остаток от деления на любое натуральное число .

≥5
Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2026, региональный этап, 10 класс, задача 4

(7 баллов) Существует ли такое натуральное число n, что для каких-то трёх его делителей a, b, c, больших 1, произведение (a-1)(b-1)(c-1) делится на n2?
Очень сложная
Теория чисел

ВСОШ 2026, региональный этап, 10 класс, задача 6

(7 баллов) На окружности отмечено 16 точек, которые делят окружность на 16 равных дуг. Петя расставил в этих точках (в некотором порядке) 16 последовательных натуральных чисел. Далее для каждой пары диаметрально противоположных точек Петя вычислил сумму чисел в этих точках. Могло ли оказаться, что п
Очень сложная
Теория чисел

ВСОШ 2026, региональный этап, 10 класс, задача 10

(7 баллов) Дан многочлен f третьей степени с целыми коэффициентами, причём старший коэффициент f равен 1 или -1. Известно, что f имеет три различных корня, каждый из которых равен квадрату натурального числа. Докажите, что в последовательности значений |f(1)|, |f(2)|, |f(3)| и т. д. встретится квадр
Очень сложная
Алгебра
Теория чисел

ВСОШ 2025, региональный этап, 11 класс, задача 4

(7 баллов) Найдите все такие пары целых чисел m и n>2, что ((n-1)!-n) · (n-2)!=m(m-2). Напомним, что k!=1 · 2 · ldots · k — произведение всех натуральных чисел от 1 до k. (А. Кузнецов)
Очень сложная
Теория чисел