ВСОШ 2026, 10 класс, задача 6

Очень сложная
Теория чисел
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2026, 10 класс, Второй тур

( баллов) На окружности отмечено точек, которые делят окружность на равных дуг. Петя расставил в этих точках (в некотором порядке) последовательных натуральных чисел. Далее для каждой пары диаметрально противоположных точек Петя вычислил сумму чисел в этих точках. Могло ли оказаться, что полученные сумм представляют собой последовательных натуральных чисел?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. Не могло.

Решение. Предположим противное: для некоторого набора расставленных чисел наши суммы в парах равны (здесь и — некоторые натуральные числа). Тогда сумма всех чисел, с одной стороны, равна

а с другой стороны, она равна

Из первого равенства видим, что делится на , а из второго — что не делится на . Противоречие.

1

(A) Общая сумма приравнена к сумме чисел в парах.

2
Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 4

(7 баллов) Две бесконечные последовательности a1,a2,ldots и b1,b2,ldots натуральных чисел таковы, что при любых различных натуральных m и k число am-bk делится на m-k. Обязательно ли an=bn при всех натуральных n?
Очень сложная
Теория чисел

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 6

(7 баллов) Существуют ли такие составные натуральные числа m>n>1, что у чисел m, n, m+n и m-n наибольший делитель, отличный от самого числа, одинаковый?
Очень сложная
Теория чисел

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 9

(7 баллов) Назовём натуральное число однобоким, если оно больше 1, и все его простые делители заканчиваются на одну и ту же цифру. (Например, числа 19 и 117=3 · 3 · 13 — однобокие, а число 682=2 · 11 · 31 — нет.) Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия с разностью, не превышающей 2025,
Очень сложная
Теория чисел

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 4

(7 баллов) Существует ли такое натуральное число n, что для каких-то трёх его делителей a, b, c, больших 1, произведение (a-1)(b-1)(c-1) делится на n2?
Очень сложная
Теория чисел