ВСОШ 2026, 9 класс, задача 9

Сложная
Алгебра
Неравенства
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2026, 9 класс, Второй тур

( баллов) Числа , и больше единицы и удовлетворяют равенству . Докажите, что

Ответ

Решение. Домножив первую скобку в равенстве из условия на , вторую на , а третью на , получим равенство

По неравенству о средних для трёх чисел из получаем

Раскрыв скобки в левой части и перенеся все попарные произведения в правую часть, получаем, что

где в последнем неравенстве мы снова применили неравенство о средних для трёх чисел:

Осталось заметить, что то же самое получится, если раскрыть скобки в требуемом неравенстве и перенести в правую часть.

1

Верное решение.

7
Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 9

(7 баллов) Найдите наибольшее число m такое, что для любых положительных чисел a, b и c, сумма которых равна 1, выполнено неравенство √((ab/c+ab))+√((bc/a+bc))+√((ca/b+ca))ge m. (Л. Емельянов)
Сложная
Алгебра

ВСОШ 2025, 9 класс, задача 1

(7 баллов) На прямой дороге стоят школа и дома Ани и Бори. Каждый день Аня выходит из дома в 8{:}00 и идет в школу. Однажды Боря выбежал из дома в школу в 8{:}00 и догнал Аню за 30 минут. На следующий день он выбежал в 8{:}10 и догнал Аню за 40 минут. В какое время ему надо выбежать, чтобы встретить
Сложная
Алгебра

ВСОШ 2024, 9 класс, задача 7

(7 баллов) На окружности длиной 1 метр отмечена точка. Из неё в одну и ту же сторону одновременно побежали два таракана с различными постоянными скоростями. Каждый раз, когда быстрый таракан догонял медленного, медленный мгновенно разворачивался, не меняя скорости. Каждый раз, когда они встречались
Сложная
Алгебра

ВСОШ 2025, 9 класс, задача 9

(7 баллов) На столе стоят 12 сосудов, выстроенных в 4 ряда по 3 сосуда в каждом. В каждый сосуд налито некоторое (возможно, нулевое) количество воды. Известно, что суммарное количество воды в каждом ряду равно 1 л. При каких α можно утверждать, что на столе найдутся два сосуда, количества воды в кот
Сложная
Неравенства