ВСОШ 2025, 9 класс, задача 3
( баллов) Даны квадратные трёхчлены и ; обозначим и . Раз в минуту Саша рисует на координатной плоскости прямую: на первой минуте — прямую с уравнением , на второй — с уравнением , , на -й минуте — с уравнением . Через некоторое время Саша нашёл три нарисованные прямые, которые проходят через одну точку. Докажите, что все нарисованные прямые проходят через одну точку.
(А. Терёшин)
Ответ
Решение. Пусть , а .
Пусть прямые, нарисованные на -й и -й минутах, пересекаются в точке с абсциссой (причём ). Это значит, что , или
Пусть теперь прямые, нарисованные на -й, -й и -й минутах, пересекаются в одной точке. Заметим, что квадратный трёхчлен принимает каждое значение не более двух раз, поэтому без ограничения общности можно считать, что отлично от и . Тогда полученная формула означает, что
Домножив на знаменатели и сократив подобные слагаемые, получаем
что при означает, что . Таким образом, равенство выше верно вообще для всех значений и , а значит, и равенство будет выполнено для всевозможных значений и , что и означает, что прямые, нарисованные в произвольные моменты и , пересекают -ю прямую в одной и той же точке.
Рассуждение выше может не сработать только для момента , когда . Но, поскольку нам уже известно, что все остальные прямые пересекаются в одной точке, можно теперь провести такое же рассуждение для других трёх моментов, установив требуемое.
Замечание. Из рассуждения выше нетрудно понять, что, если условие задачи выполнено, то при будет выполнено и , то есть прямые, нарисованные на -й и -й минутах, совпадут.
Получена последняя формула в для абсциссы .
В целом верном решении не разобран отдельно случай, когда при , и решение не проходит в этом случае.