ВСОШ 2025, 9 класс, задача 1
( баллов) На прямой дороге стоят школа и дома Ани и Бори. Каждый день Аня выходит из дома в и идет в школу. Однажды Боря выбежал из дома в школу в и догнал Аню за минут. На следующий день он выбежал в и догнал Аню за минут. В какое время ему надо выбежать, чтобы встретить Аню на выходе из её дома? (Скорость у Ани всегда постоянна, скорость Бори тоже постоянна.)
(И. Богданов)
Ответ
Ответ. В .
Первое решение. Пусть — расстояние между домами Ани и Бори (измеренное в метрах), а и — скорости Ани и Бори соответственно (измеренные в м/мин). Когда Боря догоняет Аню, скорость их сближения равна . Поэтому в первый день Боря догнал Аню за
Во второй же день Аня успела отойти на м, так что
Отсюда имеем , откуда и . Поэтому
а Боре надо потратить на путь между домами
Значит, выбежать ему надо в .
Второе решение. Изобразим условие на графике (см. рис. ), откладывая по оси абсцисс время (в минутах, отсчитанное от момента ), а по оси ординат — расстояние от дома Бори. Тогда графики движения обоих детей будут отрезками прямых.
Пусть график движения Ани начинается в точке , график движения Бори в первый и второй день — в точках и , и пусть точки встречи в эти два дня обозначаются как и соответственно. По условию, абсциссы точек и равны и соответственно.
Пусть — точка, в которой должен начинаться график искомого движения Бори. По теореме Фалеса,
последнее отношение равно отношению разностей абсцисс соответствующих точек, то есть . Значит, , то есть точка соответствует моменту .
Верное решение.